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数学通用学段专题训练

数学思维开拓训练（二）

数学思维开拓训练（二） （A卷满分100分，B卷满分50分，全卷满分150分） 完成时间：________ 分钟 得分：________ 姓名：________ 准考证号：________ A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分。每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的） 1. 二次函数 y = x 2 − 4 x +

试卷正文

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数学思维开拓训练（二）

（A卷满分100分，B卷满分50分，全卷满分150分）

完成时间：________ 分钟

得分：________

姓名：________

准考证号：________

A卷（共100分）

一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分。每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）

1. 二次函数 y=x2−4x+5y=x^2-4x+5 的顶点坐标是（         ）

A. (2,1)(2,1)　B. (2,5)(2,5)　C. (1,2)(1,2)　D. (4,5)(4,5)

2. 一元二次方程 x2−5x+6=0x^2-5x+6=0 的两根分别为（         ）

A. −2,−3-2,-3　B. 2,32,3　C. −2,3-2,3　D. 2,−32,-3

3. 在⊙O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E。若AB=10，CD=8，则OE的长为（         ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

4. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则AB的长为（         ）

A. 13 B. 14 C. 15 D. 17

5. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，则 sin⁡B\sin B 的值为（         ）

A. 35\frac{3}{5}　B. 45\frac{4}{5}　C. 34\frac{3}{4}　D. 43\frac{4}{3}

6. 在⊙O中，弦AB所对的圆心角∠AOB=80°，则弦AB所对的圆周角∠ACB的度数为（         ）

A. 40° B. 80° C. 100° D. 160°

7. 已知集合 A={x∣−2≤x<3}A=\{x \mid -2 \le x \lt 3\}，B={1,2,3,4}B=\{1,2,3,4\}，则 A∩B=A \cap B=（         ）

A. {1,2}\{1,2\}　B. {1,2,3}\{1,2,3\}　C. {2,3}\{2,3\}　D. {3,4}\{3,4\}

8. 已知 ii 为虚数单位，复数 z=2+3iz=2+3i，则 ∣z∣=|z|=（         ）

A. 5\sqrt{5}　B. 13\sqrt{13}　C. 55　D. 1313

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）

9. 二次函数 y=−x2+2x+3y=-x^2+2x+3 的顶点坐标是 ________。

10. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若 tan⁡A=512\tan A=\frac{5}{12}，且BC=10，则AC=________。

11. 若关于 xx 的一元二次方程 x2+kx+9=0x^2+kx+9=0 有两个相等的实数根，则 k=k=________。

12. 在⊙O中，弦AB=6，半径OA=5，过点O作OD⊥AB于点D，则弦心距OD的长为________。

13. 已知集合 A={x∣x2−3x+2=0}A=\{x \mid x^2-3x+2=0\}，用列举法表示 A=A=________。

三、解答题（本大题共5小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

14.（本小题满分12分，每小题6分）

（1）计算：(3−1)0+2sin⁡60∘−∣3−2∣+12(\sqrt{3}-1)^0+2\sin 60^\circ-\left|\sqrt{3}-2\right|+\sqrt{12}；

（2）解一元二次方程：x2−2x−3=0x^2-2x-3=0。

解：

15.（本小题满分8分）

在⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，AC=8，BC=6。求⊙O的半径及 sin⁡∠CAB\sin \angle CAB 的值。

解：

16.（本小题满分8分）

已知二次函数 y=x2−2x−3y=x^2-2x-3。

小明在水平地面上点A处测得楼房顶部C的仰角为30°，沿水平方向向前走20米到达点B处，测得楼房顶部C的仰角为45°。已知A、B、D在同一条直线上，D为楼底。求楼房CD的高度（结果保留根号）。

解：

17.（本小题满分10分）

（1）求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；

（2）求该二次函数图象与 xx 轴的交点坐标；

（3）当 xx 取何值时，yy 随 xx 的增大而增大？

解：

18.（本小题满分10分）

在 △ABC\triangle ABC 中，AB=ACAB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作 DE⊥ACDE \perp AC 于点E。

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若AB=10，BC=12，求DE的长。

解：

B卷（共50分）

一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）

19. 已知集合 A={x∣x2−3x−10<0}A=\{x \mid x^2-3x-10 \lt 0\}，B={x∣∣x∣≤3}B=\{x \mid |x| \le 3\}，则 A∩B=A \cap B=________。

20. 若复数 zz 满足 (1+i)z=2i(1+i)z=2i，则 ∣z∣=|z|=________。

21. 若关于 xx 的一元二次方程 x2−(k+2)x+4=0x^2-(k+2)x+4=0 有一个根为2，则另一个根为________。

22. 已知全集 U={1,2,3,4,5,6}U=\{1,2,3,4,5,6\}，集合 A={1,2,3}A=\{1,2,3\}，B={2,3,4}B=\{2,3,4\}，则 CU(A∪B)=C_U(A\cup B)=________。

23. 已知 z1=1+iz_1=1+i，z2=1−2iz_2=1-2i，则 z1⋅z2z_1\cdot z_2 的虚部为________。

二、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

24.（本小题满分10分）

已知集合 A={x∣x2−ax+a2−19=0}A=\{x \mid x^2-ax+a^2-19=0\}，B={x∣x2−5x+6=0}B=\{x \mid x^2-5x+6=0\}，C={x∣x2+2x−8=0}C=\{x \mid x^2+2x-8=0\}，且 A∩B≠∅A\cap B \neq \varnothing，A∩C=∅A\cap C=\varnothing。求实数 aa 的值。

解：

25.（本小题满分10分）

已知复数 z=(m2−2m−3)+(m2−4m+3)iz=(m^2-2m-3)+(m^2-4m+3)i，其中 m∈Rm\in \mathbb{R}。

（1）若 zz 为纯虚数，求 mm 的值；

（2）若 zz 对应的点在第二象限，求 mm 的取值范围。

解：

26.（本小题满分10分）

已知数轴上点A表示的数为-10，点B表示的数为20。动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动；动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动。P、Q两点同时出发，设运动时间为 tt 秒。

（1）用含 tt 的代数式分别表示点P、点Q所对应的数；

（2）当 tt 为何值时，P、Q两点间的距离为6个单位长度？

（3）点M为线段AP的中点，点N为线段BQ的中点，求线段MN的长（用含 tt 的代数式表示），并求当 t=8t=8 时MN的长度。

解：

✕

一、选择题（每小题4分，共32分）

参考答案

A卷

1. A 2. B 3. A 4. A 5. A 6. A 7. A 8. B

1. 配方得 y=(x−2)2+1y=(x-2)^2+1，顶点为 (2,1)(2,1)。

2. x2−5x+6=(x−2)(x−3)=0x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0，所以两根为 2,32,3。

3. 半径 OA=5OA=5，半弦 CE=4CE=4，OE=52−42=3OE=\sqrt{5^2-4^2}=3。

4. AB=AC2+BC2=52+122=13AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13。

5. BC=AB2−AC2=8BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=8，sin⁡B=ACAB=610=35\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}。

6. 同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，∠ACB=40∘\angle ACB=40^\circ。

7. A∩B={1,2}A\cap B=\{1,2\}。

8. ∣z∣=22+32=13|z|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}。

二、填空题（每小题4分，共20分）

9. (1,4)(1,4)　10. 2424　11. ±6\pm 6　12. 44　13. {1,2}\{1,2\}

9. 配方得 y=−(x−1)2+4y=-(x-1)^2+4，顶点为 (1,4)(1,4)。

10. 由 tan⁡A=BCAC=512\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{5}{12}，且BC=10，得 AC=24AC=24。

11. 由 Δ=k2−36=0\Delta=k^2-36=0，得 k=±6k=\pm 6。

12. 由垂径定理得 AD=3AD=3，OD=52−32=4OD=\sqrt{5^2-3^2}=4。

13. 解方程 x2−3x+2=0x^2-3x+2=0 得 x=1,2x=1,2，故 A={1,2}A=\{1,2\}。

三、解答题（共48分）

14.（12分）

（1）原式 =1+3−(2−3)+23=43−1=1+\sqrt{3}-(2-\sqrt{3})+2\sqrt{3}=4\sqrt{3}-1。

（2）(x−3)(x+1)=0(x-3)(x+1)=0，所以 x1=3x_1=3，x2=−1x_2=-1。

15.（8分）

因为AB是直径，所以 ∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ。

AB=82+62=10AB=\sqrt{8^2+6^2}=10，所以半径为 55。

sin⁡∠CAB=BCAB=610=35\sin \angle CAB=\frac{BC}{AB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}。

16.（8分）

设楼高 CD=hCD=h。在B处测得仰角为45°，所以 BD=hBD=h。

在A处测得仰角为30°，所以 AD=h+20AD=h+20。

由 tan⁡30∘=hh+20\tan 30^\circ=\frac{h}{h+20}，得 hh+20=13\frac{h}{h+20}=\frac{1}{\sqrt{3}}。

解得 h=10(3+1)h=10(\sqrt{3}+1) 米。

17.（10分）

（1）配方得 y=(x−1)2−4y=(x-1)^2-4，顶点坐标为 (1,−4)(1,-4)，对称轴为直线 x=1x=1。

（2）令 y=0y=0，得 (x−3)(x+1)=0(x-3)(x+1)=0，与 xx 轴交点坐标为 (−1,0)(-1,0)，(3,0)(3,0)。

（3）抛物线开口向上，对称轴为 x=1x=1，所以当 x>1x \gt 1 时，yy 随 xx 的增大而增大。

18.（10分）

（1）连接OD。因为AB为直径，所以 ∠ADB=90∘\angle ADB=90^\circ，即 AD⊥BCAD \perp BC。

又因为 AB=ACAB=AC，所以D为BC的中点。因为O为AB中点，所以OD是 △ABC\triangle ABC 的中位线，OD∥ACOD \parallel AC。

因为 DE⊥ACDE \perp AC，所以 DE⊥ODDE \perp OD。又OD是半径，所以DE是⊙O的切线。

（2）因为 BC=12BC=12，所以 BD=DC=6BD=DC=6。

在Rt△ABD中，AD=102−62=8AD=\sqrt{10^2-6^2}=8。

S△ABC=12×12×8=48S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times 12\times 8=48，所以 S△ACD=24S_{\triangle ACD}=24。

又 S△ACD=12×AC×DE=5DES_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}\times AC\times DE=5DE，所以 5DE=245DE=24，DE=245DE=\frac{24}{5}。

B卷

一、填空题（每小题4分，共20分）

19. {x∣−2<x≤3}\{x \mid -2 \lt x \le 3\}　20. 2\sqrt{2}　21. 22　22. {5,6}\{5,6\}　23. −1-1