因式分解中上难度测试卷

完成时间：_______ 分钟 得分：_______

一、选择题（共8题，每题3分）

1. 下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）

A. $x^2 - 4 + 3x = (x+2)(x-2) + 3x$    B. $x^2 - 4 = (x+2)(x-2)$

C. $(x+2)(x-2) = x^2 - 4$    D. $x^2 - 2x + 1 = x(x-2) + 1$

2. 多项式 $8x^2y^3 - 12x^3y^2$ 的公因式是（         ）

A. $4x^2y^2$    B. $4x^3y^3$    C. $2x^2y^2$    D. $4xy$

3. 分解因式 $x^2 - 6x + 9$ 的结果是（         ）

A. $(x-3)^2$    B. $(x+3)^2$    C. $(x-6)^2$    D. $(x-9)^2$

4. 若 $x^2 + mx + 16$ 是一个完全平方式，则 $m$ 的值为（         ）

A. 8 B. ±8 C. 4 D. ±4

5. 分解因式 $x^3 - 4x$ 的结果是（         ）

A. $x(x^2 - 4)$    B. $x(x-2)(x+2)$    C. $x(x-2)^2$    D. $x(x+2)^2$

6. 下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）

A. $x^2 + 4$    B. $-x^2 - 4$    C. $-x^2 + 4$    D. $x^2 + 4x$

7. 分解因式 $2x^2 - 8$ 的结果是（         ）

A. $2(x^2 - 4)$    B. $2(x-2)^2$    C. $2(x+2)(x-2)$    D. $(2x+4)(x-2)$

8. 若 $a + b = 3$，$ab = 2$，则 $a^2b + ab^2$ 的值为（         ）

A. 5 B. 6 C. 8 D. 12

二、填空题（共8题，每题3分）

三、解答题（共6题，第17-20题每题8分，第21-22题每题10分）

17. 分解因式：$2x^3 - 8x^2 + 8x$

解：________________________________________

18. 分解因式：$x^2 - 2xy + y^2 - 9$

解：________________________________________

19. 分解因式：$(x^2 + x)^2 - 8(x^2 + x) + 12$

解：________________________________________

20. 分解因式：$a^4 - 2a^2b^2 + b^4$

解：________________________________________

21. 已知 $a + b = 5$，$ab = 3$，求 $a^3b + 2a^2b^2 + ab^3$ 的值。

解：________________________________________

22. 阅读材料：若 $x^2 + y^2 - 4x + 6y + 13 = 0$，求 $x$、$y$ 的值。

解：$\because x^2 + y^2 - 4x + 6y + 13 = 0$

$\therefore (x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) = 0$

$\therefore (x-2)^2 + (y+3)^2 = 0$

$\because (x-2)^2 \geq 0$，$(y+3)^2 \geq 0$

$\therefore x - 2 = 0$，$y + 3 = 0$

$\therefore x = 2$，$y = -3$

请仿照上述方法解决问题：已知 $a^2 + b^2 - 6a + 4b + 13 = 0$，求 $a$、$b$ 的值。

解：________________________________________

一、选择题

参考答案与解析

1. B

解析：因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式。A选项结果含有加法项，不是因式分解；C选项是整式乘法；D选项结果含有加法项，不是因式分解。B选项符合定义。

2. A

解析：$8x^2y^3$ 与 $-12x^3y^2$ 系数的最大公约数为4，相同字母 $x$ 的最低次幂为 $x^2$，$y$ 的最低次幂为 $y^2$，故公因式为 $4x^2y^2$。

3. A

解析：$x^2 - 6x + 9 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x-3)^2$。

4. B

解析：完全平方式 $x^2 + mx + 16 = x^2 + mx + 4^2$，则 $mx = \pm 2 \cdot x \cdot 4 = \pm 8x$，所以 $m = \pm 8$。

5. B

解析：$x^3 - 4x = x(x^2 - 4) = x(x-2)(x+2)$。

6. C

解析：$-x^2 + 4 = 4 - x^2 = 2^2 - x^2 = (2+x)(2-x)$，符合平方差公式特征。A、B选项均为平方和形式，不能用平方差公式；D选项是二项式但无平方差特征。

7. C

解析：$2x^2 - 8 = 2(x^2 - 4) = 2(x+2)(x-2)$。

8. B

解析：$a^2b + ab^2 = ab(a+b) = 2 \times 3 = 6$。

二、填空题

9. $(x+4)(x-4)$

解析：利用平方差公式 $x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x+4)(x-4)$。

10. $3a(a - 2b)$

解析：提取公因式 $3a$，得 $3a(a - 2b)$。

11. $(x-2)(x-3)$

解析：常数项6可分解为 $(-2) \times (-3)$，且 $(-2) + (-3) = -5$，所以 $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$。

12. $(2a - 3)^2$

解析：$4a^2 - 12a + 9 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 3 + 3^2 = (2a-3)^2$。

13. $x(x+3)(x-3)$

解析：先提取公因式 $x$，再用平方差公式：$x^3 - 9x = x(x^2 - 9) = x(x+3)(x-3)$。

14. $(a+b-1)(a-b+1)$

解析：$a^2 - b^2 + 2b - 1 = a^2 - (b^2 - 2b + 1) = a^2 - (b-1)^2 = (a+b-1)(a-b+1)$。

15. $\pm 6$

解析：$x^2 + kx + 9 = x^2 + kx + 3^2$，则 $kx = \pm 2 \cdot x \cdot 3 = \pm 6x$，所以 $k = \pm 6$。

16. $(x^2+1)(x+1)(x-1)$

解析：$x^4 - 1 = (x^2)^2 - 1^2 = (x^2+1)(x^2-1) = (x^2+1)(x+1)(x-1)$。

三、解答题

17. $2x(x-2)^2$

解析：$2x^3 - 8x^2 + 8x = 2x(x^2 - 4x + 4) = 2x(x-2)^2$。

18. $(x-y+3)(x-y-3)$

解析：$x^2 - 2xy + y^2 - 9 = (x-y)^2 - 3^2 = (x-y+3)(x-y-3)$。

19. $(x+2)(x-1)(x^2+x-6)$ 或 $(x+2)(x-1)(x+3)(x-2)$

解析：令 $t = x^2 + x$，则原式 $= t^2 - 8t + 12 = (t-2)(t-6) = (x^2+x-2)(x^2+x-6) = (x+2)(x-1)(x+3)(x-2)$。

20. $(a+b)^2(a-b)^2$

解析：$a^4 - 2a^2b^2 + b^4 = (a^2)^2 - 2a^2b^2 + (b^2)^2 = (a^2 - b^2)^2 = [(a+b)(a-b)]^2 = (a+b)^2(a-b)^2$。

21. 75

解析：$a^3b + 2a^2b^2 + ab^3 = ab(a^2 + 2ab + b^2) = ab(a+b)^2 = 3 \times 5^2 = 75$。

22. $a = 3$，$b = -2$

解析：$a^2 + b^2 - 6a + 4b + 13 = 0$

$\therefore (a^2 - 6a + 9) + (b^2 + 4b + 4) = 0$

$\therefore (a-3)^2 + (b+2)^2 = 0$

$\because (a-3)^2 \geq 0$，$(b+2)^2 \geq 0$

$\therefore a - 3 = 0$，$b + 2 = 0$

$\therefore a = 3$，$b = -2$。