高三几何测试题

（满分：100分 考试时间：90分钟）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1. 已知向量 $\vec{a}=(1,2,-1)$，$\vec{b}=(2,t,2)$，若 $\vec{a}\perp\vec{b}$，则实数 $t$ 的值为（         ）

A. $0$    B. $1$    C. $-1$    D. $2$

2. 在空间直角坐标系中，点 $P(2,-1,3)$ 关于平面 $xOy$ 的对称点的坐标为（         ）

A. $(2,1,3)$    B. $(2,-1,-3)$    C. $(-2,-1,3)$    D. $(2,1,-3)$

3. 已知平面 $\alpha$ 的法向量为 $\vec{n}=(1,-2,2)$，平面 $\beta$ 的法向量为 $\vec{m}=(-2,4,-4)$，则平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ 的位置关系是（         ）

A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 重合

4. 若椭圆 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ 上一点 $P$ 到左焦点 $F_1$ 的距离为 $3$，则点 $P$ 到右焦点 $F_2$ 的距离为（         ）

A. $2$    B. $5$    C. $7$    D. $8$

5. 已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$）的一条渐近线方程为 $y=\sqrt{3}x$，则双曲线的离心率为（         ）

A. $\sqrt{2}$    B. $\sqrt{3}$    C. $2$    D. $3$

6. 在正四棱柱 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$AB=2$，$AA_1=3$，则异面直线 $AD_1$ 与 $DC_1$ 所成角的余弦值为（         ）

A. $\frac{3}{13}$    B. $\frac{4}{13}$    C. $\frac{5}{13}$    D. $\frac{6}{13}$

7. 已知抛物线 $y^2=8x$ 的焦点为 $F$，过点 $F$ 且倾斜角为 $45°$ 的直线与抛物线交于 $A,B$ 两点，则线段 $AB$ 的长度为（         ）

A. $4$    B. $8$    C. $16$    D. $32$

8. 已知直线 $l$ 过点 $P(1,2)$，且被圆 $x^2+y^2-4x-6y+12=0$ 截得的弦长为 $2\sqrt{3}$，则直线 $l$ 的斜率为（         ）

A. $0$ 或 $-\frac{4}{3}$    B. $0$ 或 $\frac{4}{3}$    C. $\frac{4}{3}$    D. $-\frac{4}{3}$

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

9. 已知空间向量 $\vec{a}=(2,-1,3)$，$\vec{b}=(-4,2,x)$，若 $\vec{a}\parallel\vec{b}$，则 $x=$______。

10. 在正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，二面角 $A-BD-A_1$ 的余弦值为______。

11. 已知圆 $C$ 的圆心在直线 $x-2y+1=0$ 上，且圆 $C$ 经过点 $A(1,2)$ 和 $B(3,0)$，则圆 $C$ 的标准方程为______。

12. 已知双曲线 $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ 的右焦点为 $F$，点 $P$ 在双曲线上，且 $|PF|=6$，则点 $P$ 到双曲线左准线的距离为______。

三、解答题（本大题共4小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

13.（本小题满分10分）

如图，在长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$AB=2$，$AD=AA_1=1$。

14.（本小题满分10分）

已知椭圆 $E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，短轴长为 $4$。

（Ⅰ）求椭圆 $E$ 的标准方程；

（Ⅱ）过点 $P(0,2)$ 作直线 $l$ 与椭圆 $E$ 交于 $A,B$ 两点，若以 $AB$ 为直径的圆经过原点，求直线 $l$ 的方程。

15.（本小题满分10分）

如图，在三棱锥 $P-ABC$ 中，$PA\perp$ 底面 $ABC$，$AB\perp BC$，$PA=AB=BC=2$，$D$ 为 $AC$ 的中点。