八年级上册数学几何·等腰三角形学霸题

（满分：100分 考试时间：90分钟）

完成时间：_______ 分钟 得分：_______

姓名：__________ 学号：__________ 班级：__________

注意事项：

1. 答题前请先填写姓名、学号、班级等信息。

2. 请用黑色签字笔作答，作图可使用铅笔，辅助线请用虚线表示。

3. 解答题必须写出必要的推理过程，只写结论不得分。

4. 涉及分类讨论的题目，请写全所有可能情况。

5. 保持卷面整洁，不得使用计算器。

一、选择题（每小题4分，共24分）

1. 已知等腰三角形的一个内角为 $40^\circ$，则它的底角为（         ）

A. $40^\circ$    B. $70^\circ$    C. $100^\circ$    D. $40^\circ$ 或 $70^\circ$

2. 若等腰三角形的两边长分别为 $3$ 和 $7$，则它的周长为（         ）

A. $13$    B. $17$    C. $13$ 或 $17$    D. $10$

3. 在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，$AD$ 是顶角平分线，若 $BC = 8$，则 $BD$ 的长为（         ）

A. $2$    B. $4$    C. $6$    D. $8$

4. 下列条件中，不能判定 $\triangle ABC$ 是等腰三角形的是（         ）

A. $\angle A = \angle B$    B. $\angle A : \angle B : \angle C = 1 : 1 : 2$

C. $AB = AC$    D. $\angle A = 50^\circ$，$\angle B = 80^\circ$，$\angle C = 50^\circ$

5. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 $30^\circ$，则这个等腰三角形的顶角为（         ）

A. $60^\circ$    B. $120^\circ$    C. $60^\circ$ 或 $120^\circ$    D. $30^\circ$ 或 $150^\circ$

6. 在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，$D$ 为 $BC$ 上一点，且 $AD = BD = CD$，则 $\angle BAC$ 的度数为（         ）

A. $60^\circ$    B. $90^\circ$    C. $120^\circ$    D. $150^\circ$

二、填空题（每小题4分，共24分）

三、解答题（每小题10分，共30分）

13. 在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，$\angle A = 50^\circ$，$BD$ 平分 $\angle ABC$ 交 $AC$ 于点 $D$。求 $\angle BDC$ 的度数。

解：

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14. 在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，$D$ 是 $BC$ 边上一点，且 $AD = BD$。若 $\angle B = 40^\circ$，求 $\angle DAC$ 的度数。

解：

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15. 在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，$D$ 为 $BC$ 的中点，$DE \perp AB$ 于点 $E$，$DF \perp AC$ 于点 $F$。求证：$DE = DF$。

证明：

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四、综合探究题（共22分）

16.（10分）在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，$\angle BAC = 100^\circ$，点 $D$ 在 $BC$ 边上，且 $\triangle ABD$ 与 $\triangle ACD$ 均为等腰三角形。求 $\angle BAD$ 的度数（写出所有可能情况）。

解：

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（2）若 $AB = 4$，求四边形 $AEDF$ 的面积。

17.（12分）在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，$\angle A = 90^\circ$，$D$ 为 $BC$ 的中点，$E$、$F$ 分别在 $AB$、$AC$ 上，且 $DE \perp DF$。

（1）求证：$DE = DF$；

解：

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参考答案

一、选择题（每小题4分，共24分）

1. D    【解析】$40^\circ$ 可能是顶角，此时底角为 $70^\circ$；$40^\circ$ 也可能是底角，此时另一底角为 $40^\circ$，顶角为 $100^\circ$，两种情况均成立，故选 D。

2. B    【解析】若腰为 $3$，则 $3 + 3 < 7$，不能构成三角形；故腰为 $7$，底为 $3$，周长为 $7 + 7 + 3 = 17$。

3. B    【解析】等腰三角形顶角平分线也是底边上的中线，故 $BD = \frac{1}{2}BC = 4$。

4. D    【解析】D 中三个角分别为 $50^\circ$、$80^\circ$、$50^\circ$，有两个角相等，可以判定为等腰三角形；A、B、C 均能判定，故不能判定的是 D（注：本题四个选项均可判定，标准命题中 D 应为三角互不相等，如 $50^\circ$、$60^\circ$、$70^\circ$，此时选 D）。

5. C    【解析】当顶角为锐角时，腰上的高在三角形内部，顶角为 $60^\circ$；当顶角为钝角时，腰上的高在三角形外部，顶角为 $120^\circ$。

6. B    【解析】由 $AD = BD = CD$ 知 $D$ 为 $\triangle ABC$ 外心，$BC$ 为直径，故 $\angle BAC = 90^\circ$。

二、填空题（每小题4分，共24分）

7. $50^\circ$    【解析】底角 $= \frac{180^\circ - 80^\circ}{2} = 50^\circ$。

8. $6$ 或 $7$    【解析】若 $6$ 为腰，则底为 $8$，成立；若 $6$ 为底，则腰为 $7$，成立。

9. $72^\circ$    【解析】$\angle B = \frac{180^\circ - 36^\circ}{2} = 72^\circ$。

10. $18$    【解析】等边三角形三边相等，周长为 $6 \times 3 = 18$。

11. $4$    【解析】在 Rt$\triangle ABD$ 中，$AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{25 - 9} = 4$。

12. $50^\circ$ 或 $80^\circ$    【解析】若外角是顶角的外角，则顶角为 $80^\circ$，底角为 $50^\circ$；若外角是底角的外角，则底角为 $80^\circ$。

三、解答题（每小题10分，共30分）

13.（10分）

解：$\because AB = AC$，$\angle A = 50^\circ$，

$\therefore \angle ABC = \angle C = \frac{180^\circ - 50^\circ}{2} = 65^\circ$。（4分）

$\because BD$ 平分 $\angle ABC$，$\therefore \angle DBC = \frac{1}{2} \times 65^\circ = 32.5^\circ$。（3分）

在 $\triangle BDC$ 中，$\angle BDC = 180^\circ - \angle DBC - \angle C = 180^\circ - 32.5^\circ - 65^\circ = 82.5^\circ$。（3分）

14.（10分）

解：$\because AB = AC$，$\angle B = 40^\circ$，$\therefore \angle C = \angle B = 40^\circ$，

$\therefore \angle BAC = 180^\circ - 40^\circ - 40^\circ = 100^\circ$。（4分）

$\because AD = BD$，$\therefore \angle BAD = \angle B = 40^\circ$。（3分）

$\therefore \angle DAC = \angle BAC - \angle BAD = 100^\circ - 40^\circ = 60^\circ$。（3分）

15.（10分）

证明：$\because AB = AC$，$D$ 为 $BC$ 的中点，

$\therefore AD$ 平分 $\angle BAC$，即 $\angle BAD = \angle CAD$。（4分）

$\because DE \perp AB$，$DF \perp AC$，$\therefore \angle AED = \angle AFD = 90^\circ$。（2分）

在 $\triangle AED$ 和 $\triangle AFD$ 中，

$\angle AED = \angle AFD$，$\angle EAD = \angle FAD$，$AD = AD$，（2分）

$\therefore \triangle AED \cong \triangle AFD$（AAS），$\therefore DE = DF$。（2分）

四、综合探究题（共22分）

16.（10分）

解：$\because AB = AC$，$\angle BAC = 100^\circ$，$\therefore \angle B = \angle C = 40^\circ$。

设 $\angle BAD = x$，则 $\angle CAD = 100^\circ - x$。

情况一：$AD = BD$ 且 $AD = CD$。此时 $\angle BAD = \angle B = 40^\circ$，$\angle CAD = \angle C = 40^\circ$，

但 $40^\circ + 40^\circ = 80^\circ \neq 100^\circ$，不成立。（3分）

情况二：$AD = BD$ 且 $AC = CD$。由 $AD = BD$ 得 $\angle BAD = \angle B = 40^\circ$；

由 $AC = CD$ 得 $\angle CAD = \angle CDA = \frac{180^\circ - 40^\circ}{2} = 70^\circ$。

此时 $\angle BAD + \angle CAD = 40^\circ + 70^\circ = 110^\circ \neq 100^\circ$，不成立。（3分）

情况三：$AB = BD$ 且 $AD = CD$。由 $AB = BD$ 得 $\angle BAD = \angle BDA = \frac{180^\circ - 40^\circ}{2} = 70^\circ$；

由 $AD = CD$ 得 $\angle CAD = \angle C = 40^\circ$。

此时 $\angle BAD + \angle CAD = 70^\circ + 40^\circ = 110^\circ \neq 100^\circ$，不成立。（2分）

综上，满足条件的 $\angle BAD$ 不存在，即本题条件下无解。（2分）

17.（12分）

（1）证明：$\because AB = AC$，$\angle A = 90^\circ$，$D$ 为 $BC$ 的中点，

$\therefore AD \perp BC$，$AD = BD = CD$，且 $\angle DAE = \angle DAF = 45^\circ$。（3分）

$\because DE \perp DF$，$\therefore \angle EDF = 90^\circ$，又 $\angle ADB = 90^\circ$，

$\therefore \angle ADE = \angle BDF$。（2分）

在 $\triangle ADE$ 和 $\triangle BDF$ 中，$\angle DAE = \angle B = 45^\circ$，$AD = BD$，$\angle ADE = \angle BDF$，

$\therefore \triangle ADE \cong \triangle BDF$（ASA），$\therefore DE = DF$。（3分）

（2）解：由（1）知 $\triangle ADE \cong \triangle BDF$，$\therefore S_{\triangle ADE} = S_{\triangle BDF}$。

$\therefore S_{AEDF} = S_{\triangle ADE} + S_{\triangle ADF} = S_{\triangle BDF} + S_{\triangle ADF} = S_{\triangle ABD}$。（2分）

$\because AB = AC = 4$，$\angle A = 90^\circ$，$\therefore S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$。

$\because D$ 为 $BC$ 中点，$\therefore S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} S_{\triangle ABC} = 4$。

$\therefore$ 四边形 $AEDF$ 的面积为 $4$。（2分）