七年级上册数学（北师大版）半期测试卷

完成时间：90分钟 得分：________

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合题意）

1. 下列立体图形中，用一个平面去截，截面不可能是长方形的是（　　）

A. 圆柱　　B. 圆锥　　C. 正方体　　D. 三棱柱

2. 一个直五棱柱有多少条棱？（　　）

A. 10　　B. 12　　C. 15　　D. 20

3. 某几何体从正面看和从左面看都是长方形，从上面看是圆，这个几何体是（　　）

A. 圆柱　　B. 圆锥　　C. 球　　D. 三棱柱

4. 若一个棱柱共有12个顶点，则它的面数为（　　）

A. 5　　B. 6　　C. 7　　D. 8

5. 用一个平面去截一个正方体，截面不可能是（　　）

A. 三角形　　B. 四边形　　C. 五边形　　D. 七边形

6. 正方体的六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，已知1与6相对，2与5相对，3与4相对。一个面同时与标有数字2的面和标有数字4的面相邻，则这个面上的数字可能是（　　）

A. 1　　B. 3　　C. 5　　D. 1或6

7. 多面体的顶点数 $V$、棱数 $E$、面数 $F$ 之间的关系是（　　）

A. $V+F-E=2$　　B. $V+E-F=2$　　C. $E+F-V=2$　　D. $V-F+E=2$

8. 一个直 $n$ 棱柱有14个顶点，则 $n^2-5$ 的值是（　　）

A. 44　　B. 40　　C. 36　　D. 30

9. 用一个平面去截一个五棱柱，截面边数最多是（　　）

A. 5　　B. 6　　C. 7　　D. 8

10. 由若干个相同的小正方体搭成一个几何体，从正面看有3列，从左面看有2列，从上面看是3列2排的完整网格。从正面看各列最高层数分别为2、1、3，从左面看各列最高层数分别为3、2。该几何体最少需要小正方体的个数是（　　）

A. 8　　B. 9　　C. 10　　D. 11

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）

11. 一个直七棱柱有（　　）个面，（　　）条棱，（　　）个顶点。

12. 用一个平面去截一个四棱柱，截面边数最少为（　　），最多为（　　）。

13. 一个棱柱共有9个面，它是（　　　　）棱柱，共有（　　）条侧棱。

14. 已知一个正方体每个面的面积为 $a$，则它的表面积为（　　　　　　）；若 $a=(-3)^2$，表面积是（　　　　）。

15. 某几何体从正面看和从左面看都是三角形，从上面看是四边形，这个几何体可能是（　　　　　　　　）。

三、解答题（本大题共6小题，共50分）

16.（6分）一个直八棱柱，每条棱的长度都等于 $2$ cm。

（1）这个直八棱柱有多少个面、多少条棱、多少个顶点？（3分）

（2）求这个直八棱柱所有棱的长度之和。（3分）

17.（7分）一个正方体所有棱的长度之和为 $36$ cm。

（1）求这个正方体的棱长。（3分）

（2）求这个正方体的表面积。（4分）

18.（8分）一个直五棱柱的底面是边长为 $2$ cm 的正五边形，侧棱长为 $(-1)^2 \times 3$ cm。

（1）求这个直五棱柱的底面周长。（2分）

（2）求这个直五棱柱所有侧棱的长度之和。（2分）

（3）求这个直五棱柱的侧面积。（3分）

（4）若用一个平面沿与侧棱垂直的方向去截这个直五棱柱，所得截面是什么形状？（1分）

19.（8分）一个多面体有10个面，且每个面都是三角形。

（1）求这个多面体有多少条棱。（4分）

（2）求这个多面体有多少个顶点。（4分）

20.（9分）一个长方体纸盒的长、宽、高分别为 $a$ cm、$b$ cm、$c$ cm，其中 $a = (-3)\times(-2)$，$b = |-5+1|$，$c = (-1)^3 + 3$。

（1）求 $a$、$b$、$c$ 的值。（3分）

（2）求这个长方体纸盒所有棱的长度之和。（3分）

（3）求这个长方体纸盒的表面积。（3分）

21.（12分）用若干个完全相同的小正方体搭成一个几何体，从正面看有4列，从左面看有3列，从上面看是4列3排的完整网格。从正面看各列的最高层数依次为2、3、1、4；从左面看各列的最高层数依次为4、2、3。

（1）搭成这个几何体最少需要多少个小正方体？最多需要多少个小正方体？（6分）

（2）若小正方体的棱长为 $|-5+3|$ cm，求最多搭法时这个几何体的表面积。（3分）

（3）在最多搭法中，将第4列第1排最上面的一个小正方体拿走（该位置由4层变为3层）。请通过从正面、左面看到的最高层数变化，说明表面积怎样变化。（3分）

参考答案

一、选择题

1.B 2.C 3.A 4.D 5.D 6.D 7.A 8.A 9.C 10.B

二、填空题

11. 9，21，14

12. 3，6

13. 七，7

14. $6a$，54

15. 四棱锥

三、解答题

16.（1）面数：$8+2=10$；棱数：$3\times8=24$；顶点数：$2\times8=16$。

（2）所有棱长之和：$24\times2=48$ cm。

17.（1）正方体有12条棱，棱长：$36\div12=3$ cm。

（2）表面积：$6\times3^2=6\times9=54$ cm²。

18.（1）底面周长：$2\times5=10$ cm。

（2）侧棱长：$(-1)^2\times3=3$ cm，侧棱共有5条，所有侧棱长之和：$5\times3=15$ cm。

（3）侧面积：$10\times3=30$ cm²。

（4）截面是五边形（与底面全等，即正五边形）。

19.（1）每个三角形面有3条边，10个面共有 $10\times3=30$ 条边，每条棱被两个面共用，所以棱数：$E=\dfrac{10\times3}{2}=15$。

（2）由欧拉公式 $V+F-E=2$，得 $V+10-15=2$，所以 $V=7$。

20.（1）$a=(-3)\times(-2)=6$；$b=|-5+1|=4$；$c=(-1)^3+3=-1+3=2$。

（2）所有棱长之和：$4(a+b+c)=4(6+4+2)=48$ cm。

（3）表面积：$2(ab+bc+ca)=2(6\times4+4\times2+2\times6)=2(24+8+12)=88$ cm²。

21.（1）最少需要18个，最多需要26个。

最少搭法：从上面看是4列3排的完整网格，所以底层至少 $4\times3=12$ 个。将第4列最高4层安排在第1排，第2列最高3层安排在第3排，第1列最高2层安排在第2排，其余位置均放1层。此时正面各列最高层数恰为 $2,3,1,4$，左面各排最高层数恰为 $4,2,3$，故最少为 $12+(4-1)+(3-1)+(2-1)=18$ 个。

最多搭法：每个位置的高度不能超过所在列最高限制与所在排最高限制的最小值。按列限制 $2,3,1,4$ 与排限制 $4,2,3$ 取小，得到各排高度：第1排 $2,3,1,4$；第2排 $2,2,1,2$；第3排 $2,3,1,3$。故最多为 $10+7+9=26$ 个。

（2）小正方体棱长为 $|-5+3|=2$ cm。最多搭法时，正面投影面积为 $2+3+1+4=10$，左面投影面积为 $4+2+3=9$，俯视投影面积为 $4\times3=12$。所以该几何体共有 $2(10+9+12)=62$ 个单位正方形面，每个单位正方形面积为 $2^2=4$ cm²，故表面积为 $62\times4=248$ cm²。

（3）拿走第4列第1排最上面一个小正方体后，第4列的最高层数由4变为3，正面投影面积减少1；第1排的最高层数由4变为3，左面投影面积减少1；俯视投影面积不变。因此前、后、左、右四个方向共减少 $2\times(1+1)=4$ 个单位正方形面，每个面积为 $4$ cm²，所以表面积减少 $4\times4=16$ cm²。