数学初中期中试卷

初二（八年级）数学期中考试试卷

初二（八年级）数学期中考试试卷（满分：100分考试时间：60分钟）完成时间：__________分钟得分：__________ 姓名：__________ 学号：__________ 班级：__________ 注意事项 1. 本试卷考查范围为三角形、全等三角形、轴对称。 2. 答题前请将姓名、学号和班级填写清楚。 3. 选择题请将正确选项的字母填在

试卷正文

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初二（八年级）数学期中考试试卷

（满分：100分考试时间：60分钟）

完成时间：__________分钟得分：__________

姓名：__________ 学号：__________ 班级：__________

注意事项

1. 本试卷考查范围为三角形、全等三角形、轴对称。

2. 答题前请将姓名、学号和班级填写清楚。

3. 选择题请将正确选项的字母填在括号内；解答题应写出必要的证明过程和推理依据。

4. 使用几何语言表述时，应做到条件明确、结论准确、书写规范。

5. 考试结束后，请认真检查答题情况，保持卷面整洁。

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（）

A. 1，2，3 B. 2，3，5 C. 3，4，6 D. 4，4，8

2. 如 $图$ 中所涉及的图形均可由文字条件确定。若在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle DEF$ 中，$AB = DE$，$AC = DF$，且 $\angle A = \angle D$，则判定 $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ 的依据是（）

A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS

3. 已知 $\triangle ABC \cong \triangle DEF$，且 $A$ 与 $D$、$B$ 与 $E$、$C$ 与 $F$ 分别对应。若 $AB = 6$，$\angle C = 40^\circ$，则 $DE$ 与 $\angle F$ 的度数分别为（）

A. $6，40^\circ$ B. $6，50^\circ$ C. $40，6^\circ$ D. $50，6^\circ$

4. 下列说法正确的是（）

A. 有一个角是 $60^\circ$ 的等腰三角形一定是等边三角形

B. 等腰三角形的底角一定相等，但顶角一定不等于底角

C. 等边三角形的三条中线、三条角平分线和三条高分别重合

D. 三角形的一个外角一定等于与它不相邻的两个内角之和

5. 线段 $AB$ 的垂直平分线交 $AB$ 于点 $M$。点 $P$ 在线段 $AB$ 的垂直平分线上，且 $PA = 5$，则 $PB$ 的长为（）

A. $2.5$ B. $5$ C. $10$ D. 不能确定

6. 如 $图$ 中所涉及的图形均可由文字条件确定。在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，点 $D$ 在 $BC$ 上，且 $BD = DC$。下列结论中不一定正确的是（）

A. $AD \perp BC$ B. $\angle BAD = \angle DAC$ C. $AD$ 平分 $\angle A$ D. $AB = BD$

7. 在 $\triangle ABC$ 中，$\angle A = 40^\circ$，$AB = AC$。点 $D$ 在 $AC$ 上，且 $BD = BC$，则 $\angle ABD$ 的度数为（）

A. $20^\circ$ B. $30^\circ$ C. $40^\circ$ D. $50^\circ$

8. 如 $图$ 中所涉及的图形均可由文字条件确定。点 $P$、$Q$ 分别在 $\angle AOB$ 的两边 $OA$、$OB$ 上，且 $OP = OQ$。连接 $PQ$，点 $R$ 是 $PQ$ 的中点，则下列结论不一定成立的是（）

A. $OR \perp PQ$ B. $OR$ 平分 $\angle POQ$ C. $RP = RQ$ D. $OR$ 平分 $\angle AOB$

9. 在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，$AD$ 是 $\angle A$ 的平分线，点 $E$、$F$ 分别是 $AB$、$AC$ 上的点，且 $AE = AF$。若 $DE = 3$，则 $DF$ 的长为（）

A. $2$ B. $3$ C. $4$ D. 无法确定

10. 在 $\triangle ABC$ 中，$\angle A = 90^\circ$，$AB = AC$。点 $D$、$E$ 分别在 $AB$、$AC$ 上，且 $AD = AE$。连接 $DE$，若 $\angle BDE = 25^\circ$，则 $\angle CED$ 的度数为（）

A. $25^\circ$ B. $35^\circ$ C. $45^\circ$ D. $65^\circ$

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

11. 若等腰三角形的两边长分别为 $5$ 和 $10$，则该等腰三角形的周长为（）。

12. 在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle DEF$ 中，$AB = DE$，$\angle A = \angle D$，若补充条件（写出一个即可）__________，就能依据 ASA 判定两三角形全等。

13. 点 $P$、$Q$ 关于直线 $l$ 对称，若点 $P$ 到直线 $l$ 的距离为 $7$，则点 $Q$ 到直线 $l$ 的距离为（）。

14. 如 $图$ 中所涉及的图形均可由文字条件确定。等腰三角形 $ABC$ 中，$AB = AC$，若 $\angle A = 80^\circ$，则 $\angle ABC$ 的度数为（）。

15. 如 $图$ 中所涉及的图形均可由文字条件确定。在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，$AD \perp BC$ 于点 $D$，若 $BD = 4$，则 $BC = $（）。

16. 如 $图$ 中所涉及的图形均可由文字条件确定。点 $P$、$Q$ 在直线 $l$ 的同侧，且点 $P$、$Q$ 关于直线 $l$ 对称。若 $A$ 是直线 $l$ 上任意一点，$AP = 8$，则 $AQ = $（）。

三、解答题（本大题共6小题，共52分）

17.（8分） 如 $图$ 中所涉及的图形均可由文字条件确定。在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，$D$、$E$ 分别是 $AB$、$AC$ 上的点，且 $AD = AE$。求证：$BE = CD$。

证明：
在 $\triangle ABE$ 和 $\triangle ACD$ 中，
$AB = AC$，$AE = AD$，______________________________。
所以 $\triangle ABE \cong \triangle ACD$（SAS）。
所以 $BE = CD$。

18.（8分） 如 $图$ 中所涉及的图形均可由文字条件确定。已知 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，点 $D$ 在 $BC$ 上，且 $AD$ 平分 $\angle BAC$。求证：$BD = DC$，且 $AD \perp BC$。

证明：在 $\triangle ABD$ 和 $\triangle ACD$ 中，写出判定两三角形全等所需的条件，并说明全等依据；再由全等三角形的性质完成证明。

19.（9分） 如 $图$ 中所涉及的图形均可由文字条件确定。已知 $AB \perp AC$，$AD \perp BD$，$CE \perp BE$，且 $AB = AC$，$AD = CE$，$\angle BAD = \angle BCE$。求证：$\triangle ABD \cong \triangle CBE$。

要求：明确指出所使用的全等三角形判定方法，并写出完整证明过程。

20.（9分） 如 $图$ 中所涉及的图形均可由文字条件确定。在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，点 $D$、$E$ 分别在 $AB$、$AC$ 上，且 $BD = CE$。连接 $BE$、$CD$，交于点 $P$。求证：$BE = CD$，并判断直线 $AP$ 是否平分 $\angle A$，说明理由。

21.（9分） 如 $图$ 中所涉及的图形均可由文字条件确定。已知点 $A$、$B$ 关于直线 $l$ 对称，点 $C$ 在直线 $l$ 上，点 $D$ 是直线 $l$ 上任意一点。求证：$CA = CB$，$DA = DB$。若 $\angle ACD = 35^\circ$，求 $\angle BCD$ 的度数。

22.（9分） 如 $图$ 中所涉及的图形均可由文字条件确定。在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，$D$ 是 $BC$ 的中点，点 $E$ 在 $AD$ 上，连接 $BE$、$CE$。求证：$BE = CE$。若 $BE = 5$，且 $\angle ABE = 30^\circ$，求 $\angle BEC$ 的度数。

参考答案

一、选择题

1. C

2. B

3. A

4. C

5. B

6. D

7. B

8. D

9. B

10. A

二、填空题

11. 25

12. $\angle B = \angle E$ 或 $\angle C = \angle F$

13. 7

14. $50^\circ$

15. 8

16. 8

三、解答题

17.（8分）

证明：在 $\triangle ABE$ 和 $\triangle ACD$ 中，

$AB = AC$，$AE = AD$，$\angle BAE = \angle CAD$。

所以 $\triangle ABE \cong \triangle ACD$（SAS）。

所以 $BE = CD$。

18.（8分）

证明：在 $\triangle ABD$ 和 $\triangle ACD$ 中，

$AB = AC$，$AD = AD$，$\angle BAD = \angle CAD$。

所以 $\triangle ABD \cong \triangle ACD$（SAS）。

所以 $BD = DC$，$\angle ADB = \angle ADC$。

由于 $B、D、C$ 三点在同一直线上，$\angle ADB + \angle ADC = 180^\circ$。

又因为 $\angle ADB = \angle ADC$，所以 $\angle ADB = \angle ADC = 90^\circ$。

因此 $AD \perp BC$。

19.（9分）

证明：因为 $AB \perp AC$，所以 $\angle BAC = 90^\circ$；因为 $AD \perp BD$，所以 $\angle ADB = 90^\circ$；因为 $CE \perp BE$，所以 $\angle CEB = 90^\circ$。

在 $\triangle ABD$ 和 $\triangle CBE$ 中，

$AB = CB$（由题设条件及对应关系可得），$AD = CE$，$\angle BAD = \angle BCE$。

所以 $\triangle ABD \cong \triangle CBE$（SAS）。

注：若题设中的对应线段应为 $AB = BC$，则上述结论可直接成立；按照原题文字“$AB = AC$”时，条件不足以唯一推出该全等结论。

20.（9分）

证明：在 $\triangle ABE$ 和 $\triangle ACD$ 中，

$AB = AC$。

因为 $D$、$E$ 分别在 $AB$、$AC$ 上，且 $BD = CE$，所以

$AD = AB - BD$，$AE = AC - CE$，从而 $AD = AE$。

又因为 $\angle BAE = \angle CAD$，所以 $\triangle ABE \cong \triangle ACD$（SAS）。

因此 $BE = CD$。

由全等三角形还可得 $\angle ABE = \angle ACD$。由于 $AB = AC$，直线 $AD$ 与 $AE$ 为同一直线，结合等腰三角形的对称性可知，$BE$ 与 $CD$ 的交点 $P$ 在 $A$ 的角平分线上。

所以直线 $AP$ 平分 $\angle A$。

21.（9分）

证明：因为点 $A$、$B$ 关于直线 $l$ 对称，所以直线 $l$ 是线段 $AB$ 的垂直平分线。

点 $C$、$D$ 在直线 $l$ 上，因此 $CA = CB$，$DA = DB$。

又因为 $CA = CB$，所以 $\triangle ACD$ 和 $\triangle BCD$ 中有 $CA = CB$、$CD = CD$，且 $\angle ACD$ 与 $\angle BCD$ 关于直线 $l$ 对称，因此两角相等。

所以 $\angle BCD = \angle ACD = 35^\circ$。

22.（9分）

证明：在 $\triangle ABD$ 和 $\triangle ACD$ 中，

$AB = AC$，$BD = DC$，$AD = AD$。

所以 $\triangle ABD \cong \triangle ACD$（SSS）。

因此 $ \angle BDA = \angle ADC$，且对应角、对应边相等。

由于点 $E$ 在 $AD$ 上，结合全等三角形的对应关系，可得 $BE = CE$。

在 $\triangle ABE$ 中，$AB = AC$ 不能直接推出 $AE = BE$；由题设全等关系可知 $\angle ABE = \angle ACE$。当 $\angle ABE = 30^\circ$ 时，结合 $AD$ 为等腰三角形的对称轴，直线 $AD$ 垂直平分 $BC$，从而 $\angle BEC = 180^\circ - 2 \times 30^\circ = 120^\circ$。

所以 $\angle BEC = 120^\circ$。

评分标准

一、选择题：每小题3分，选对得3分，选错或不选得0分，共30分。

二、填空题：每小题3分，答案正确得3分；答案形式不规范但实质正确，可酌情给分；共18分。

三、解答题：

17题：写出 $\angle BAE = \angle CAD$ 得2分；正确使用 SAS 判定三角形全等得3分；写出对应边相等得2分；证明书写规范得1分。

18题：写出三组全等条件得3分；正确使用 SAS 判定全等得2分；得到 $BD = DC$ 得1分；得到两角相等并说明邻补角关系得1分；得到 $AD \perp BC$ 得1分。

19题：正确识别直角条件得2分；写出两组对应边相等及夹角相等得3分；正确使用 SAS 或 HL 判定全等得3分；结论书写规范得1分。原题条件若仍为 $AB = AC$，由于条件不足，指出无法证明该结论，可得相应过程分。

20题：由 $AB = AC$ 和 $BD = CE$ 推出 $AD = AE$ 得2分；正确判定相关三角形全等得3分；得到 $BE = CD$ 得2分；判断并说明 $AP$ 为角平分线得2分。

21题：说明 $l$ 为 $AB$ 的垂直平分线得2分；利用垂直平分线性质得到 $CA = CB$、$DA = DB$ 得3分；说明对称图形中对应角相等得2分；求出 $\angle BCD = 35^\circ$ 得2分。

22题：正确利用 SSS 判定 $\triangle ABD \cong \triangle ACD$ 得3分；得到等腰三角形的对称性或相关对应关系得2分；证明 $BE = CE$ 得2分；求出 $\angle BEC = 120^\circ$ 得2分。