广州市八年级上学期数学期末考试

（满分：100分 考试时间：90分钟）

完成时间：_______ 分钟 得分：_______

姓名：__________ 学号：__________ 班级：__________

注意事项：

1. 答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡上填写自己的姓名、学号和班级。

2. 选择题每小题选出答案后，请将答案填写在答题卡对应题号的括号内。

3. 非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上。

4. 保持答题卡整洁，不要折叠、弄破，严禁使用涂改液、修正带。

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1. 下列四个实数中，是无理数的是（______）

A. $\frac{22}{7}$ B. $\sqrt{9}$ C. $\pi$ D. $0.1010010001$

2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（______）

A. 3，4，8 B. 5，6，11 C. 5，6，10 D. 4，4，9

3. 点 $P(2, -3)$ 关于 $x$ 轴对称的点的坐标是（______）

A. $(-2, 3)$ B. $(2, 3)$ C. $(-2, -3)$ D. $(2, -3)$

4. 下列计算正确的是（______）

A. $a^2 \cdot a^3 = a^6$ B. $(a^2)^3 = a^5$ C. $(2a)^3 = 6a^3$ D. $a^8 \div a^2 = a^6$ (a≠0)

5. 将分式 $\frac{2x}{x+y}$ 中的 $x$，$y$ 的值同时扩大到原来的2倍，则分式的值（______）

A. 扩大到原来的2倍 B. 缩小到原来的 $\frac{1}{2}$ C. 保持不变 D. 无法确定

6. 如图，已知 $\angle 1 = \angle 2$，要说明 $\triangle ABD \cong \triangle ACD$，还需从下列条件中选一个，错误的选法是（______）

A. $\angle ADB = \angle ADC$ B. $AB = AC$ C. $DB = DC$ D. $AD = AD$（公共边）

7. 一次函数 $y = kx + b$ 的图象如图所示，则不等式 $kx + b > 0$ 的解集是（______）

A. $x > -2$ B. $x < -2$ C. $x > 3$ D. $x < 3$

8. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB=AC$，$\angle BAC=120^\circ$，$AD$ 是 $BC$ 边上的中线，且 $AD=4$，$E$ 是 $AC$ 边上的一个动点，则 $BE+ED$ 的最小值是（______）

A. 4 B. 6 C. 8 D. 10

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

三、解答题（本大题共8小题，共58分）

15. （6分）计算：$(-1)^{2024} + \sqrt[3]{-8} - |\sqrt{2}-3|$。

解：

16. （6分）先化简，再求值：$\frac{x^2-1}{x^2+2x+1} \div (1 - \frac{1}{x+1})$，其中 $x = \sqrt{2} - 1$。

解：

17. （6分）解分式方程：$\frac{2}{x-3} = \frac{3}{x}$。

解：

18. （6分）如图，点 $B$，$F$，$C$，$E$ 在同一直线上，$AB=DE$，$BF=EC$，$AB \parallel DE$。求证：$\angle A = \angle D$。

证明：

19. （8分）已知一次函数 $y = kx + b$ 的图象经过点 $A(-2, 5)$ 和点 $B(1, -1)$。

（1）求这个一次函数的解析式；

（2）求该函数图象与坐标轴围成的三角形的面积。

解：

20. （8分）某校为美化校园，计划对面积为 $1800 m^2$ 的区域进行绿化。安排甲、乙两个工程队完成。已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为 $400 m^2$ 区域的绿化时，甲队比乙队少用4天。

（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少 $m^2$？

（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为 $0.4$ 万元，付给乙队的费用为 $0.25$ 万元，要使这次的绿化总费用不超过 $8$ 万元，至少应安排甲队工作多少天？

解：

21. （9分）如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB=AC$，$D$ 是 $BC$ 边上的一点，$DE \perp AB$，$DF \perp AC$，垂足分别为 $E$，$F$，$BG \perp AC$，垂足为 $G$。

（1）求证：$DE+DF=BG$；

（2）若 $D$ 是 $BC$ 的延长线上的一点，其余条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请探究 $DE$，$DF$，$BG$ 三者之间的数量关系，并证明你的结论。

（1）证明：

（2）解：

22. （9分）如图，在平面直角坐标系中，点 $A$ 的坐标为 $(4, 0)$，点 $B$ 在 $y$ 轴正半轴上，且 $S_{\triangle AOB} = 8$。

（1）求点 $B$ 的坐标；

（2）若点 $P$ 从原点 $O$ 出发，以每秒1个单位长度的速度沿 $x$ 轴向点 $A$ 运动（运动到点 $A$ 即停止），设运动时间为 $t$ 秒。过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线，与直线 $AB$ 交于点 $C$。设 $\triangle PBC$ 的面积为 $S$。

① 求 $S$ 与 $t$ 之间的函数关系式；

② 当 $t$ 为何值时，$S$ 有最大值，最大值是多少？

解：

参考答案及评分标准

一、选择题（每小题3分，共24分）

二、填空题（每小题3分，共18分）

三、解答题（共58分）

15. （6分）

解：原式 $= 1 + (-2) - (3 - \sqrt{2})$ ………………（4分，每项正确得1分）

$= 1 - 2 - 3 + \sqrt{2}$

$= -4 + \sqrt{2}$ ………………（6分）

16. （6分）

解：原式 $= \frac{(x-1)(x+1)}{(x+1)^2} \div \frac{x+1-1}{x+1}$ ………………（2分）

$= \frac{x-1}{x+1} \div \frac{x}{x+1}$ ………………（3分）

$= \frac{x-1}{x+1} \cdot \frac{x+1}{x}$ ………………（4分）

$= \frac{x-1}{x}$ ………………（5分）

当 $x = \sqrt{2} - 1$ 时，原式 $= \frac{\sqrt{2}-1-1}{\sqrt{2}-1} = \frac{\sqrt{2}-2}{\sqrt{2}-1}$。 ………………（6分）

17. （6分）

解：方程两边同乘 $x(x-3)$，得 $2x = 3(x-3)$。 ………………（2分）

解得 $x = 9$。 ………………（4分）

检验：当 $x=9$ 时，$x(x-3) \neq 0$。 ………………（5分）

所以，原分式方程的解为 $x=9$。 ………………（6分）

18. （6分）

证明：∵ $BF=EC$，

∴ $BF+FC=EC+FC$，即 $BC=EF$。 ………………（2分）

∵ $AB \parallel DE$，∴ $\angle B = \angle E$。 ………………（4分）

在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle DEF$ 中，

$\begin{cases} AB=DE \\ \angle B = \angle E \\ BC=EF \end{cases}$

∴ $\triangle ABC \cong \triangle DEF$（SAS）。 ………………（5分）

∴ $\angle A = \angle D$。 ………………（6分）

19. （8分）

解：（1）将 $A(-2, 5)$，$B(1, -1)$ 代入 $y=kx+b$，得

$\begin{cases} -2k+b=5 \\ k+b=-1 \end{cases}$ ………………（2分）

解得 $\begin{cases} k=-2 \\ b=1 \end{cases}$ ………………（3分）

∴ 一次函数解析式为 $y = -2x + 1$。 ………………（4分）

（2）当 $x=0$ 时，$y=1$，∴ 图象与 $y$ 轴交点为 $(0, 1)$。

当 $y=0$ 时，$-2x+1=0$，解得 $x=\frac{1}{2}$，∴ 图象与 $x$ 轴交点为 $(\frac{1}{2}, 0)$。 ………………（6分）

∴ 函数图象与坐标轴围成的三角形面积为：

$S = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{4}$。 ………………（8分）

20. （8分）

解：（1）设乙队每天能完成绿化的面积为 $x \ m^2$，则甲队每天能完成绿化的面积为 $2x \ m^2$。

根据题意，得 $\frac{400}{x} - \frac{400}{2x} = 4$。 ………………（2分）

解得 $x = 50$。 ………………（3分）

经检验，$x=50$ 是原方程的解，且符合题意。

∴ $2x = 100$。

答：甲队每天能完成绿化的面积为 $100 \ m^2$，乙队每天能完成绿化的面积为 $50 \ m^2$。 ………………（4分）

（2）设应安排甲队工作 $a$ 天，则乙队工作 $\frac{1800-100a}{50}$ 天。

根据题意，得 $0.4a + 0.25 \times \frac{1800-100a}{50} \le 8$。 ………………（6分）

解得 $a \ge 10$。 ………………（7分）

答：至少应安排甲队工作10天。 ………………（8分）

21. （9分）

（1）证明：连接 $AD$。

∵ $S_{\triangle ABD} + S_{\triangle ACD} = S_{\triangle ABC}$，

∴ $\frac{1}{2}AB \cdot DE + \frac{1}{2}AC \cdot DF = \frac{1}{2}AC \cdot BG$。 ………………（2分）

∵ $AB = AC$，

∴ $AB \cdot DE + AB \cdot DF = AB \cdot BG$。

∴ $DE + DF = BG$。 ………………（4分）

（2）解：当点 $D$ 在 $BC$ 延长线上时，（1）中结论不成立。 ………………（5分）

此时，$DE - DF = BG$。 ………………（6分）

证明：连接 $AD$。

∵ $S_{\triangle ABD} - S_{\triangle ACD} = S_{\triangle ABC}$， ………………（7分）

∴ $\frac{1}{2}AB \cdot DE - \frac{1}{2}AC \cdot DF = \frac{1}{2}AC \cdot BG$。

∵ $AB = AC$，

∴ $AB \cdot DE - AB \cdot DF = AB \cdot BG$。

∴ $DE - DF = BG$。 ………………（9分）

22. （9分）

解：（1）∵ $A(4,0)$，∴ $OA=4$。

∵ $S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2}OA \cdot OB = 8$，∴ $\frac{1}{2} \times 4 \times OB = 8$，解得 $OB=4$。

∴ 点 $B$ 的坐标为 $(0, 4)$。 ………………（2分）

（2）① 设直线 $AB$ 的解析式为 $y = kx + b$。

将 $A(4,0)$，$B(0,4)$ 代入，得 $\begin{cases} 4k+b=0 \\ b=4 \end{cases}$，解得 $\begin{cases} k=-1 \\ b=4 \end{cases}$。

∴ 直线 $AB$ 的解析式为 $y = -x + 4$。 ………………（3分）

由题意，$OP = t$，$0 \le t \le 4$，则点 $P$ 坐标为 $(t, 0)$，点 $C$ 坐标为 $(t, -t+4)$。

∴ $PC = -t + 4$。 ………………（4分）

过点 $B$ 作 $BD \perp PC$ 于点 $D$，则 $BD = t$。 ………………（5分）

∴ $S = S_{\triangle PBC} = \frac{1}{2} PC \cdot BD = \frac{1}{2} \times (-t+4) \times t = -\frac{1}{2}t^2 + 2t$。

∴ $S$ 与 $t$ 的函数关系式为 $S = -\frac{1}{2}t^2 + 2t$ $(0 \le t \le 4)$。 ………………（7分）

② $S = -\frac{1}{2}t^2 + 2t = -\frac{1}{2}(t^2 - 4t) = -\frac{1}{2}(t-2)^2 + 2$。 ………………（8分）

∵ $-\frac{1}{2} < 0$，$0 \le t \le 4$，

∴ 当 $t=2$ 时，$S$ 有最大值，最大值为 $2$。 ………………（9分）