基本不等式专项测试卷

满分：100分 完成时间：120分钟 得分：________

一、选择题（每题6分，共48分）

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知 $0 < x < 3$，则 $x(6-2x)$ 取最大值时，$x$ 的值为（         ）

A. $\frac{3}{2}$   B. $2$   C. $\frac{3}{4}$   D. $1$

2. 已知 $x > 1$，则 $x + \frac{4}{x-1}$ 的最小值为（         ）

A. $4$   B. $5$   C. $6$   D. $8$

3. 已知 $0 < x < 4$，则 $x(8-2x)$ 的最大值为（         ）

A. $6$   B. $8$   C. $10$   D. $16$

4. 当 $x > 0$ 时，$2x + \frac{8}{x}$ 的最小值为（         ）

A. $6$   B. $8$   C. $10$   D. $16$

5. 已知 $0 < x < 1$，则 $x(3-3x)$ 的最大值为（         ）

A. $\frac{1}{4}$   B. $\frac{1}{2}$   C. $\frac{3}{4}$   D. $1$

6. 下列不等式恒成立的是（ ）

A. $x + \frac{1}{x} \ge 2$   B. $x^2 + 1 \ge 2x$   C. $x + \frac{1}{x} \le -2$   D. $x(1-x) \le \frac{1}{2}$

7. 已知 $x > 0$，$y > 0$，且 $x + y = 4$，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为（         ）

A. $\frac{1}{2}$   B. $1$   C. $2$   D. $4$

8. 已知 $x > 2$，则 $x + \frac{9}{x-2}$ 取最小值时，$x$ 的值为（         ）

A. $3$   B. $4$   C. $5$   D. $6$

二、填空题（每题6分，共24分）

9. 已知 $x > 0$，则 $3x + \frac{12}{x}$ 的最小值为________。

10. 若 $x > 1$，则 $x + \frac{4}{x-1}$ 的最小值为________，此时 $x$ 的值为________。

11. 已知 $x > 0$，则 $x^2 + \frac{9}{x^2}$ 的最小值为________，此时 $x$ 的值为________。

12. 已知 $x > 2$，则 $2x + \frac{8}{x-2}$ 的最小值为________。

三、解答题（第13题8分，第14、15题各10分，共28分）

13.（8分）已知 $0 < x < \frac{5}{2}$，求函数 $y = x(10-4x)$ 的最大值，并求此时 $x$ 的值。

解：

14.（10分）已知 $x > 0$，求函数 $y = \frac{x^2 + 4x + 4}{x}$ 的最小值。

解：

15.（10分）已知 $x > 3$，求 $y = x + \frac{4}{x-3}$ 的最小值，并求出此时 $x$ 的值。

解：