高一数学期末测验

（满分：100分 考试时间：90分钟）

完成时间：______分钟 得分：______分

姓名：____________ 学号：____________ 班级：____________

注意事项：

1. 答题前填写姓名、学号、班级，并填写答题卡上的相关信息。

2. 本卷共18题。选择题均为单项选择题，每题只有一个正确选项。

3. 请将答案填写在答题卡指定区域内；解答题须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

4. 不得使用计算器。涉及角度的计算统一使用弧度制，结果尽量保留精确值。

5. 考查范围：集合与逻辑、函数、指数与对数、三角函数、平面向量、统计与概率。

一、单项选择题（共8题，每题4分，共32分）

1. 已知集合 $A = \{x \mid -1 < x \leq 3\}$，$B = \{x \mid x \geq 1\}$，则 $A \cap B =$（　　）

A. $(-1,1)$　　B. $[1,3]$　　C. $(1,3]$　　D. $[1,+\infty)$

2. 对于实数 $x$，“$x > 2$”是“$x^2 > 4$”的（　　）

A. 充分不必要条件　　B. 必要不充分条件

C. 充要条件　　D. 既不充分也不必要条件

3. 函数 $f(x) = \dfrac{\sqrt{x + 1}}{x - 2}$ 的定义域是（　　）

A. $[-1,+\infty)$

B. $(-1,2) \cup (2,+\infty)$

C. $[-1,2) \cup (2,+\infty)$

D. $[-1,2)$

4. 下列函数中，既是奇函数，又在 $\mathbb{R}$ 上严格递增的是（　　）

A. $y = x^2$　　B. $y = x^3$　　C. $y = \dfrac{1}{x}$　　D. $y = \sin x$

5. 设 $a = 2^{0.3}$，$b = \log_2 3$，$c = \log_2 \dfrac{3}{2}$，则（　　）

A. $a < b < c$　　B. $c < b < a$　　C. $b < a < c$　　D. $c < a < b$

6. 函数 $y = 2\sin\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right)$ 的最小正周期是（　　）

A. $\dfrac{\pi}{2}$　　B. $\pi$　　C. $2\pi$　　D. $4\pi$

7. 已知向量 $\boldsymbol{a} = (2,-1)$，$\boldsymbol{b} = (1,3)$，则 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} =$（　　）

A. $-1$　　B. $1$　　C. $5$　　D. $-5$

8. 从编号为1、2、3、4、5的五张卡片中随机抽取一张，设事件 $A$ 为“编号是偶数”，事件 $B$ 为“编号大于3”，则 $P(A \cup B) =$（　　）

A. $\dfrac{1}{5}$　　B. $\dfrac{2}{5}$　　C. $\dfrac{3}{5}$　　D. $\dfrac{4}{5}$

二、填空题（共6题，每题4分，共24分）

三、解答题（共4题，第15、16题各10分，第17、18题各12分，共44分）

15.（10分）已知函数 $f(x) = x^2 - 2ax + 2$，其中 $a \in \mathbb{R}$。

（1）（4分）当 $a = 2$ 时，求函数的顶点坐标及零点。

（2）（6分）设 $g(a)$ 为 $f(x)$ 在区间 $[0,2]$ 上的最小值，求 $g(a)$ 的表达式，并求使 $g(a) \geq 0$ 成立的 $a$ 的取值范围。

16.（10分）已知 $\alpha$ 为第二象限角，且 $\sin\alpha = \dfrac{3}{5}$。

（1）（4分）求 $\tan\alpha$ 和 $\cos 2\alpha$。

（2）（6分）求 $\sin\left(\alpha + \dfrac{\pi}{4}\right)$，并求函数 $h(x) = \sin(x + \alpha)$ 在区间 $\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$ 上的最大值和最小值，说明理由。

17.（12分）某班对20名学生进行一次数学基础知识测试，成绩统计如下表。每名学生的成绩均为表中所列的一个数值。

（1）（6分）求这20名学生成绩的平均数和总体方差。

（2）（6分）从这20名学生中随机选出两名不同的学生，每种选法等可能。求两名学生的成绩均不低于90分的概率。

18.（12分）如图，矩形 $ABCD$ 中，$AB = 4$，$AD = 3$，$E$ 为 $BC$ 的中点。以 $A$ 为坐标原点，分别以 $\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AD}$ 的方向为 $x$ 轴、$y$ 轴正方向建立平面直角坐标系。

（1）（4分）写出 $\overrightarrow{AE}$、$\overrightarrow{AC}$ 的坐标，并求 $\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AC}$。



（2）（4分）设 $\theta$ 为 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{AE}$ 的夹角，求 $\cos\theta$。

（3）（4分）点 $P$ 在线段 $AC$ 上，且 $EP \perp AC$，求 $\dfrac{AP}{AC}$，并验证所得点确在线段 $AC$ 上。

■ 高一数学期末测验 ■

数学 · 答题卡

考试名称：高一数学期末测验 满分：100分 考试时间：90分钟

条形码粘贴区

缺考标记：□ 缺考（由监考员填涂）

违纪标记：□ 违纪（由监考员填涂）

注意事项

1. 答题前核对考试名称，准确填写姓名、班级和准考证号。

2. 选择题用2B铅笔填涂，每题只能填涂一个选项。

3. 非选择题用黑色签字笔在对应题号区域内作答。

4. 修改选择题答案时，先擦净原填涂，再填涂新选项。

5. 保持答题卡平整、清洁，不折叠，不在条形码区域书写。

一、选择题（1—8题，每题4分，共32分）

二、填空题（9—14题，每题4分，共24分）

三、解答题（15—18题，共44分）

15.（10分）

（1）（4分）

（2）（6分）

高一数学期末测验 · 答题卡续页 姓名：____________ 准考证号：____________

16.（10分）

（1）（4分）

（2）（6分）

17.（12分）

（1）（6分）

（2）（6分）

高一数学期末测验 · 答题卡续页 姓名：____________ 准考证号：____________

18.（12分）

（1）（4分）

（2）（4分）

（3）（4分）

参考答案

评分说明：选择题、填空题每题4分，答对得4分，答错或未答得0分。解答题按下列步骤评分；采用其他正确方法的，参照相应步骤给分，同一步骤不重复计分。

一、单项选择题（共32分）

1. B。

同时满足 $-1 < x \leq 3$ 与 $x \geq 1$，得 $1 \leq x \leq 3$，故 $A \cap B = [1,3]$。

2. A。

$x > 2$ 可以推出 $x^2 > 4$；但 $x^2 > 4$ 也可能有 $x < -2$，不能推出 $x > 2$。因此为充分不必要条件。

3. C。

由 $x + 1 \geq 0$ 且 $x - 2 \neq 0$，得 $x \geq -1$ 且 $x \neq 2$，定义域为 $[-1,2) \cup (2,+\infty)$。

4. B。

$y = x^3$ 满足 $f(-x) = -f(x)$，且在 $\mathbb{R}$ 上严格递增。$y = x^2$ 为偶函数；$y = \dfrac{1}{x}$ 在零点无定义；$y = \sin x$ 在 $\mathbb{R}$ 上不严格递增。

5. D。

由 $1 < \dfrac{3}{2} < 2$，得 $0 < c < 1$。又 $1 < 2^{0.3} < 2^{0.5} = \sqrt{2} < \dfrac{3}{2}$，且 $3 > 2^{3/2} = 2\sqrt{2}$，故 $b = \log_2 3 > \dfrac{3}{2}$。因此 $c < a < b$。

6. B。

正弦型函数的最小正周期为 $T = \dfrac{2\pi}{|2|} = \pi$。

7. A。

$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 2 \times 1 + (-1) \times 3 = -1$。

8. C。

$A = \{2,4\}$，$B = \{4,5\}$，所以 $A \cup B = \{2,4,5\}$。五种结果等可能，故 $P(A \cup B) = \dfrac{3}{5}$。

二、填空题（共24分）

9. $9$。

由 $x - 1 = 2^3 = 8$，得 $x = 9$，符合 $x > 1$。

10. $5$。

$f(-2) = (-2)^2 = 4$，所以 $f(f(-2)) = f(4) = 4 + 1 = 5$。

11. $(1,+\infty)$。

定义域为 $x > 1$。底数 $\dfrac{1}{2}$ 小于1，且 $x - 1$ 随 $x$ 增大而增大，故原函数在整个定义域上严格递减。

12. $-\dfrac{3}{4}$。

由 $(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = 1 + 2\sin\alpha\cos\alpha = 1 + \sin 2\alpha$，得 $\sin 2\alpha = \dfrac{1}{4} - 1 = -\dfrac{3}{4}$。

13. $\dfrac{2}{3}$。

两向量垂直，故 $3m - 2 = 0$，解得 $m = \dfrac{2}{3}$。

14. $2$。

平均数为4，总体方差为 $\dfrac{(2 - 4)^2 + (3 - 4)^2 + (4 - 4)^2 + (5 - 4)^2 + (6 - 4)^2}{5} = 2$。

三、解答题（共44分）

15.（1）顶点坐标为 $(2,-2)$；零点为 $2 - \sqrt{2}$、$2 + \sqrt{2}$。

当 $a = 2$ 时，$f(x) = x^2 - 4x + 2 = (x - 2)^2 - 2$，所以顶点为 $(2,-2)$。令 $f(x) = 0$，得 $(x - 2)^2 = 2$，所以零点为 $x = 2 \pm \sqrt{2}$。

（1）配方正确1分；顶点正确1分；两个零点各1分，共4分。

（2）$g(a) = \begin{cases}2,& a < 0,\\2 - a^2,& 0 \leq a \leq 2,\\6 - 4a,& a > 2.\end{cases}$ 使 $g(a) \geq 0$ 成立的范围为 $a \in (-\infty,\sqrt{2}]$。

因为 $f(x) = (x - a)^2 + 2 - a^2$，其对称轴为 $x = a$。当 $a < 0$ 时，函数在 $[0,2]$ 上递增，最小值为 $f(0) = 2$；当 $0 \leq a \leq 2$ 时，顶点位于该区间，最小值为 $f(a) = 2 - a^2$；当 $a > 2$ 时，函数在该区间上递减，最小值为 $f(2) = 6 - 4a$。

在第一种情形中，所有 $a < 0$ 均满足条件；第二种情形要求 $2 - a^2 \geq 0$，结合 $0 \leq a \leq 2$，得 $0 \leq a \leq \sqrt{2}$；第三种情形要求 $a \leq \dfrac{3}{2}$，与 $a > 2$ 矛盾。合并得 $a \leq \sqrt{2}$。

（2）三种情形的最小值各1分，共3分；第二种情形的不等式求解1分；排除第三种情形1分；合并范围正确1分，共6分。

16.（1）$\tan\alpha = -\dfrac{3}{4}$，$\cos 2\alpha = \dfrac{7}{25}$。

因为 $\alpha$ 为第二象限角，所以 $\cos\alpha = -\sqrt{1 - \sin^2\alpha} = -\dfrac{4}{5}$。因此 $\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = -\dfrac{3}{4}$，$\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = 1 - \dfrac{18}{25} = \dfrac{7}{25}$。

（1）求出 $\cos\alpha$ 得1分；求出 $\tan\alpha$ 得1分；二倍角公式正确1分；求出 $\cos 2\alpha$ 得1分，共4分。

（2）$\sin\left(\alpha + \dfrac{\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{10}$；$h(x)$ 的最大值为 $\dfrac{3}{5}$，最小值为 $-\dfrac{4}{5}$。

由两角和公式，$\sin\left(\alpha + \dfrac{\pi}{4}\right) = \sin\alpha \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \cos\alpha \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \left(\dfrac{3}{5} - \dfrac{4}{5}\right)\dfrac{\sqrt{2}}{2} = -\dfrac{\sqrt{2}}{10}$。

取与 $\alpha$ 同终边且属于 $\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)$ 的角 $\alpha_0$。当 $x \in \left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$ 时，$x + \alpha_0 \in \left[\alpha_0,\alpha_0 + \dfrac{\pi}{2}\right] \subset \left(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\right)$。正弦函数在该范围内严格递减，所以 $h(x)$ 在所给区间上严格递减。

故最大值为 $h(0) = \sin\alpha = \dfrac{3}{5}$，最小值为 $h\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \cos\alpha = -\dfrac{4}{5}$。

（2）两角和公式及结果正确各1分，共2分；说明相位区间及单调性各1分，共2分；最大值、最小值各1分，共6分。

17.（1）平均数为80分，总体方差为120。

平均数为 $\overline{x} = \dfrac{60 \times 2 + 70 \times 4 + 80 \times 8 + 90 \times 4 + 100 \times 2}{20} = 80$。

总体方差为 $s^2 = \dfrac{2(60 - 80)^2 + 4(70 - 80)^2 + 8(80 - 80)^2 + 4(90 - 80)^2 + 2(100 - 80)^2}{20} = \dfrac{2400}{20} = 120$。

（1）平均数算式正确2分，结果正确1分；总体方差算式正确2分，结果正确1分，共6分。

（2）概率为 $\dfrac{3}{38}$。

成绩不低于90分的学生共有 $4 + 2 = 6$ 人。将随机选取两名学生视为依次、不放回地选取两人，有序结果共有 $20 \times 19 = 380$ 种；两人成绩均不低于90分的有序结果共有 $6 \times 5 = 30$ 种。

每一对不同学生对应两个有序结果，因此上述计数与题目中的等可能选法一致。所求概率为 $P = \dfrac{30}{380} = \dfrac{3}{38}$。

（2）确定符合条件的学生人数1分；总结果数正确2分；有利结果数正确2分；概率正确1分，共6分。使用无序计数，得到总选法190种、有利选法15种，同样给分。

18.（1）$\overrightarrow{AE} = \left(4,\dfrac{3}{2}\right)$，$\overrightarrow{AC} = (4,3)$，$\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AC} = \dfrac{41}{2}$。

由坐标系的建立方式，$A = (0,0)$，$B = (4,0)$，$C = (4,3)$。因为 $E$ 为 $BC$ 的中点，所以 $E = \left(4,\dfrac{3}{2}\right)$。故 $\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AC} = 4 \times 4 + \dfrac{3}{2} \times 3 = \dfrac{41}{2}$。

（1）两向量坐标各1分；数量积算式正确1分；结果正确1分，共4分。

（2）$\cos\theta = \dfrac{8}{\sqrt{73}} = \dfrac{8\sqrt{73}}{73}$。

$\overrightarrow{AB} = (4,0)$，$|\overrightarrow{AB}| = 4$，$|\overrightarrow{AE}| = \sqrt{16 + \dfrac{9}{4}} = \dfrac{\sqrt{73}}{2}$，且 $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AE} = 16$。由夹角公式，$\cos\theta = \dfrac{16}{4 \times \frac{\sqrt{73}}{2}} = \dfrac{8}{\sqrt{73}}$。

（2）求出 $|\overrightarrow{AE}|$ 得1分；求出数量积得1分；夹角公式正确1分；结果正确1分，共4分。

（3）$\dfrac{AP}{AC} = \dfrac{41}{50}$；所得点确在线段 $AC$ 内部。

（3）$\dfrac{AP}{AC} = \dfrac{41}{50}$；所得点确在线段 $AC$ 内部。

设 $\overrightarrow{AP} = t\overrightarrow{AC}$，则 $P = (4t,3t)$。于是 $\overrightarrow{EP} = \left(4t - 4,3t - \dfrac{3}{2}\right)$。由 $EP \perp AC$，得 $\overrightarrow{EP} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$，即 $4(4t - 4) + 3\left(3t - \dfrac{3}{2}\right) = 0$。

整理得 $25t - \dfrac{41}{2} = 0$，所以 $t = \dfrac{41}{50}$。由于 $0 < \dfrac{41}{50} < 1$，点 $P$ 确在线段 $AC$ 内部，且 $\dfrac{AP}{AC} = t = \dfrac{41}{50}$。

整理得 $25t - \dfrac{41}{2} = 0$，所以 $t = \dfrac{41}{50}$。由于 $0 < \dfrac{41}{50} < 1$，点 $P$ 确在线段 $AC$ 内部，且 $\dfrac{AP}{AC} = t = \dfrac{41}{50}$。

（3）设参数并表示点或向量得1分；利用垂直条件列出正确方程得1分；求得参数及长度比得1分；验证在线段内部得1分，共4分。