专升本高等数学月考试卷
完成时间：_______ 分钟 得分：_______
一、选择题（每小题 4 分，共 40 分） 1. 设 lim x → 0 sin 3 x x = a \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = a x → 0 lim x s i n 3 x = a ，则 a a a 的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 3 D. 不存在
2. 当 x → 0 x \to 0 x → 0 时，下列无穷小量中与 x 2 x^2 x 2 等价的是（ ）
A. 1 − cos x 1 - \cos x 1 − cos x B. x sin x x \sin x x sin x C. ln ( 1 + x ) \ln(1+x) ln ( 1 + x ) D. tan x − sin x \tan x - \sin x tan x − sin x
3. 设 f ( x ) = { x 2 − 1 x − 1 , x ≠ 1 k , x = 1 f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}, & x \neq 1 \\ k, & x = 1 \end{cases} f ( x ) = ⎩ ⎨ ⎧ x − 1 x 2 − 1 , k , x = 1 x = 1 在 x = 1 x = 1 x = 1 处连续，则 k = k = k = （ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 不存在
4. 设 y = x x y = x^x y = x x （x > 0 x > 0 x > 0 ），则 d y d x = \dfrac{dy}{dx} = d x d y = （ ）
A. x x x^x x x B. x x ln x x^x \ln x x x ln x C. x x ( ln x + 1 ) x^x(\ln x + 1) x x ( ln x + 1 ) D. x ⋅ x x − 1 x \cdot x^{x-1} x ⋅ x x − 1
5. 曲线 y = x 3 − 3 x 2 + 2 y = x^3 - 3x^2 + 2 y = x 3 − 3 x 2 + 2 的拐点个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
6. 设 f ( x ) f(x) f ( x ) 在 [ a , b ] [a, b] [ a , b ] 上可导，且 f ′ ( x ) > 0 f'(x) > 0 f ′ ( x ) > 0 ，f ( a ) < 0 f(a) < 0 f ( a ) < 0 ，f ( b ) > 0 f(b) > 0 f ( b ) > 0 ，则方程 f ( x ) = 0 f(x) = 0 f ( x ) = 0 在 ( a , b ) (a, b) ( a , b ) 内（ ）
A. 无实根 B. 至少有一个实根 C. 恰有两个实根 D. 有无穷多个实根
7. 若 ∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C \int f(x)\,dx = F(x) + C ∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C ，则 ∫ f ( 2 x + 1 ) d x = \int f(2x + 1)\,dx = ∫ f ( 2 x + 1 ) d x = （ ）
A. F ( 2 x + 1 ) + C F(2x+1) + C F ( 2 x + 1 ) + C B. 1 2 F ( 2 x + 1 ) + C \dfrac{1}{2}F(2x+1) + C 2 1 F ( 2 x + 1 ) + C C. 2 F ( 2 x + 1 ) + C 2F(2x+1) + C 2 F ( 2 x + 1 ) + C D. F ( x 2 ) + C F\left(\dfrac{x}{2}\right) + C F ( 2 x ) + C
8. 设 f ′ ( x ) f'(x) f ′ ( x ) 连续，则 d d x ∫ 0 x 2 f ′ ( t ) d t = \dfrac{d}{dx}\int_{0}^{x^2} f'(t)\,dt = d x d ∫ 0 x 2 f ′ ( t ) d t = （ ）
A. f ′ ( x 2 ) f'(x^2) f ′ ( x 2 ) B. 2 x f ′ ( x 2 ) 2x f'(x^2) 2 x f ′ ( x 2 ) C. f ( x 2 ) − f ( 0 ) f(x^2) - f(0) f ( x 2 ) − f ( 0 ) D. 2 x f ( x 2 ) 2x f(x^2) 2 x f ( x 2 )
9. 下列广义积分收敛的是（ ）
A. ∫ 1 + ∞ 1 x d x \displaystyle\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x}\,dx ∫ 1 + ∞ x 1 d x B. ∫ 1 + ∞ 1 x 2 d x \displaystyle\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^2}\,dx ∫ 1 + ∞ x 2 1 d x C. ∫ 1 + ∞ 1 x d x \displaystyle\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx ∫ 1 + ∞ x 1 d x D. ∫ 0 1 1 x d x \displaystyle\int_{0}^{1} \frac{1}{x}\,dx ∫ 0 1 x 1 d x
10. 设 lim x → ∞ ( 1 + a x ) 2 x = e − 4 \lim\limits_{x \to \infty}\left(1 + \dfrac{a}{x}\right)^{2x} = e^{-4} x → ∞ lim ( 1 + x a ) 2 x = e − 4 ，则 a = a = a = （ ）
A. − 4 -4 − 4 B. − 2 -2 − 2 C. 2 2 2 D. 4 4 4
二、填空题（每小题 4 分，共 24 分） 1. lim x → 0 e 2 x − 1 ln ( 1 + 3 x ) = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{e^{2x} - 1}{\ln(1 + 3x)} = x → 0 lim ln ( 1 + 3 x ) e 2 x − 1 = ______
2. 设 y = ln ( sin x ) y = \ln(\sin x) y = ln ( sin x ) ，则 y ′ = y' = y ′ = ______
3. 设 y = arctan x y = \arctan x y = arctan x ，则 y ′ ′ ( 1 ) = y''(1) = y ′′ ( 1 ) = ______
4. ∫ 1 x 2 + 4 d x = \displaystyle\int \frac{1}{x^2 + 4}\,dx = ∫ x 2 + 4 1 d x = ______
5. ∫ x e x d x = \displaystyle\int x e^{x}\,dx = ∫ x e x d x = ______
6. 函数 f ( x ) = x 3 − 3 x f(x) = x^3 - 3x f ( x ) = x 3 − 3 x 在 [ − 2 , 2 ] [-2, 2] [ − 2 , 2 ] 上的最大值为 ______
三、计算题（每小题 8 分，共 48 分）
1. 求极限 lim x → 0 tan x − sin x x 3 \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan x - \sin x}{x^3} x → 0 lim x 3 tan x − sin x 。
答：________________________________________
2. 求极限 lim x → + ∞ ( x 2 + x − x ) \lim\limits_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + x} - x\right) x → + ∞ lim ( x 2 + x − x ) 。
答：________________________________________
3. 设 y = x 1 + x 2 y = \dfrac{x}{\sqrt{1 + x^2}} y = 1 + x 2 x ，求 d y d x \dfrac{dy}{dx} d x d y 。
答：________________________________________
4. 设方程 x 2 + x y + y 2 = 3 x^2 + xy + y^2 = 3 x 2 + x y + y 2 = 3 确定隐函数 y = y ( x ) y = y(x) y = y ( x ) ，求 d y d x \dfrac{dy}{dx} d x d y 及在点 ( 1 , 1 ) (1, 1) ( 1 , 1 ) 处的切线方程。
答：________________________________________
5. 求不定积分 ∫ 2 x + 3 x 2 + 3 x + 2 d x \displaystyle\int \frac{2x + 3}{x^2 + 3x + 2}\,dx ∫ x 2 + 3 x + 2 2 x + 3 d x 。
答：________________________________________
6. 求不定积分 ∫ x ln x d x \displaystyle\int x \ln x\,dx ∫ x ln x d x 。
答：________________________________________
四、综合应用题（共 38 分） 1.（12 分）设函数 f ( x ) = x 3 − 6 x 2 + 9 x + 1 f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 f ( x ) = x 3 − 6 x 2 + 9 x + 1 。
（1）求 f ( x ) f(x) f ( x ) 的单调区间与极值；
（2）求曲线 y = f ( x ) y = f(x) y = f ( x ) 的凹凸区间与拐点。
答：________________________________________
2.（12 分）设 f ( x ) f(x) f ( x ) 在 [ 0 , 1 ] [0, 1] [ 0 , 1 ] 上连续，在 ( 0 , 1 ) (0, 1) ( 0 , 1 ) 内可导，且 f ( 0 ) = 0 f(0) = 0 f ( 0 ) = 0 ，f ( 1 ) = 1 f(1) = 1 f ( 1 ) = 1 。证明：存在 ξ ∈ ( 0 , 1 ) \xi \in (0, 1) ξ ∈ ( 0 , 1 ) ，使得 f ′ ( ξ ) = 2 ξ f'(\xi) = 2\xi f ′ ( ξ ) = 2 ξ 。
答：________________________________________
3.（14 分）已知某产品的总成本函数为 C ( x ) = 2 x 2 + 40 x + 200 C(x) = 2x^2 + 40x + 200 C ( x ) = 2 x 2 + 40 x + 200 （元），其中 x x x 为产量（件），销售收入函数为 R ( x ) = 120 x − x 2 R(x) = 120x - x^2 R ( x ) = 120 x − x 2 （元）。
（1）求利润函数 L ( x ) L(x) L ( x ) ；
（2）求使利润最大的产量及最大利润；
（3）求此时边际利润，并说明其经济意义。
答：________________________________________