高三数学期末测试题

（满分：100分 考试时间：90分钟）

姓名：__________ 学号：__________ 班级：__________

完成时间：_______ 分钟 得分：_______

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合 $A=\{x\mid -2\le x\lt 3\}$，$B=\{x\mid x^2-5x+4\lt 0\}$，则 $A\cap B=$（　　）

A. $(1,3)$  B. $[-2,4)$  C. $[1,3)$  D. $(1,3]$

2. 已知复数 $z$ 满足 $z(1-i)=3+i$，则 $|z|=$（　　）

A. $2$  B. $\sqrt{5}$  C. $\sqrt{10}$  D. $2\sqrt{2}$

3. 已知 $\sin\alpha=\frac{3}{5}$，$\alpha\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$，则 $\cos\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)=$（　　）

A. $\frac{4-3\sqrt{3}}{10}$  B. $\frac{3\sqrt{3}-4}{10}$  C. $\frac{3\sqrt{3}+4}{10}$  D. $\frac{-3\sqrt{3}-4}{10}$

4. 设 $a=\log_3 2$，$b=\ln 2$，$c=2^{-0.3}$，则（　　）

A. $a\lt b\lt c$  B. $c\lt b\lt a$  C. $a\lt c\lt b$  D. $b\lt a\lt c$

5. 已知向量 $\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(-2,m)$，若 $\vec{a}\perp\vec{b}$，则 $m=$（　　）

A. $1$  B. $-1$  C. $2$  D. $-2$

6. 函数 $f(x)=\ln(x^2-2x+2)$ 的单调递增区间为（　　）

A. $(-\infty,1)$  B. $(1,+\infty)$  C. $(-\infty,+\infty)$  D. $[-1,+\infty)$

7. 已知等比数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=2$，$a_3=8$，则 $a_5=$（　　）

A. $16$  B. $32$  C. $64$  D. $128$

8. 已知圆柱的底面半径为 $1$，高为 $2$，则其体积为（　　）

A. $\pi$  B. $2\pi$  C. $3\pi$  D. $4\pi$

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上）

9. $\left(x+\frac{1}{x}\right)^6$ 的展开式中 $x^2$ 的系数为______。

10. 从数字 $1,2,3,4,5$ 中任取两个不同的数，其和为偶数的概率为______。

11. 已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a\gt 0,b\gt 0)$ 的渐近线方程为 $y=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}x$，则其离心率为______。

12. 已知函数 $f(x)=x^3-3x$，则曲线 $y=f(x)$ 在 $x=1$ 处的切线方程为______。

13. 已知 $\sin\alpha=\frac{1}{3}$，$\alpha\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$，则 $\sin 2\alpha=$______。

14. 圆 $C:x^2+y^2-2x-4y=0$ 的圆心到直线 $x-y+2=0$ 的距离为______。

三、解答题（本大题共3小题，共30分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15.（本小题满分10分）在 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，已知 $a=3$，$b=5$，$\cos C=\frac{1}{3}$。

（1）求边 $c$ 的长；（5分）

（2）求 $\triangle ABC$ 的面积。（5分）

16.（本小题满分10分）某工厂生产的零件合格率为 $0.9$，现从产品中随机抽取 $3$ 件，假设每件产品是否合格互不影响。

（1）求恰有 $2$ 件合格的概率；（5分）

（2）求至少有 $1$ 件合格的概率。（5分）

17.（本小题满分10分）已知函数 $f(x)=e^x-ax$，其中 $a\in\mathbb{R}$。

（1）当 $a=1$ 时，求函数 $f(x)$ 的单调区间；（5分）

（2）若 $f(x)\ge 0$ 对任意 $x\in\mathbb{R}$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围。（5分）