数学思维开拓训练（二）

完成时间：120 分钟 满分：150 分 得分：____________

A卷（共100分）

一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1. 抛物线 $y=-(x-2)^2+3$ 的顶点坐标是（         ）

A. $(2,3)$　B. $(-2,3)$　C. $(2,-3)$　D. $(-2,-3)$

2. 一元二次方程 $x^2+6x+8=0$ 的两个根是（         ）

A. $2,4$　B. $1,8$　C. $-2,-4$　D. $-2,4$

3. 在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle C=90^\circ$，$AC=6$，$BC=8$，则斜边 $AB$ 上的高为（         ）

A. $5$　B. $4.8$　C. $6$　D. $10$

4. 在 $⊙O$ 中，弦 $AB$ 的长为24，圆心 $O$ 到弦 $AB$ 的距离为5，则 $⊙O$ 的半径为（         ）

A. $12$　B. $13$　C. $10$　D. $15$

5. 在 $⊙O$ 中，弦 $AC$ 所对的圆心角 $\angle AOC=80^\circ$，点 $B$ 在优弧 $\widehat{AC}$ 上，则 $\angle ABC$ 的度数为（         ）

A. $80^\circ$　B. $40^\circ$　C. $120^\circ$　D. $160^\circ$

6. 在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle C=90^\circ$，若 $\sin A=\frac{3}{5}$，则 $\tan B$ 的值为（         ）

A. $\frac{4}{3}$　B. $\frac{3}{5}$　C. $\frac{3}{4}$　D. $\frac{5}{3}$

7. 设集合 $A=\{1,2,3,4\}$，$B=\{x\in\mathbb{N}^*\mid x^2-6x+8=0\}$，则 $A\cap B$ 等于（         ）

A. $\{2\}$　B. $\{1,3\}$　C. $\{2,4\}$　D. $\{1,2,3,4\}$

8. 设复数 $z=(m^2-4)+(m-2)i$ 为纯虚数，则实数 $m$ 的值为（         ）

A. $2$　B. $-2$　C. $±2$　D. $0$

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）

三、解答题（本大题共5小题，共48分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

14.（本小题满分12分，每小题6分）

（1）计算：$(\pi-3.14)^0+\sqrt{12}-2\sin 60^\circ+\left|\frac{1}{2}-1\right|$；

（2）解方程：$x^2-5x+6=0$。

15.（本小题满分8分）

某圆形拱桥，桥拱可看作一段圆弧。已知水面宽为16米，桥拱最高点到水面的距离为8米。

（1）求桥拱所在圆的半径；

（2）当水面下降2米时，求此时水面的宽度。

16.（本小题满分8分）

某滑梯与水平地面成 $30^\circ$ 角，滑梯斜面长度为10米。

（1）求滑梯顶端离地面的高度；

（2）求滑梯底端到顶端正下方的水平距离。

17.（本小题满分10分）

已知抛物线 $y=-x^2+2x+3$。

（1）求该抛物线与 $x$ 轴的交点坐标；

（2）求该抛物线的顶点坐标和对称轴；

（3）当 $0\le x\le 4$ 时，求 $y$ 的最大值和最小值。

18.（本小题满分10分）

在 $\triangle ABC$ 中，$AB=AC=5$，$BC=6$。以 $BC$ 为直径作 $⊙O$，$⊙O$ 与 $AB$ 除点 $B$ 外交于点 $E$，与 $AC$ 除点 $C$ 外交于点 $F$，连接 $EF$。

（1）求 $BC$ 边上的高 $AO$ 的长；

（2）求 $⊙O$ 的半径；

（3）求证：$\angle BEC=90^\circ$；

（4）求 $EF$ 的长。

B卷（共50分）

一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）

二、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

24.（本小题满分10分）

已知集合 $A=\{x\mid x^2-5x+6=0\}$，$B=\{x\mid ax-2=0\}$，且 $B\subseteq A$，求实数 $a$ 的值组成的集合。

25.（本小题满分10分）

已知复数 $z=(m^2-3m+2)+(m-2)i$（$m\in\mathbb{R}$，$i$为虚数单位）。

（1）若 $z$ 为实数，求 $m$ 的值；

（2）若 $z$ 为纯虚数，求 $m$ 的值；

（3）当 $m=3$ 时，求 $|z|$。

26.（本小题满分10分）

数轴上，点 $A$ 表示 $-10$，点 $B$ 表示 $20$。动点 $P$ 从点 $A$ 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动；动点 $Q$ 从点 $B$ 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴负方向运动，两点同时出发。

（1）经过 $t$ 秒后，点 $P$、$Q$ 在数轴上表示的数分别是什么？（用含 $t$ 的式子表示）

（2）当 $P$、$Q$ 两点相遇时，求 $t$ 的值及相遇地点表示的数；

（3）当 $PQ=5$ 时，求 $t$ 的值。

一、选择题

参考答案

1. A 2. C 3. B 4. B 5. B 6. A 7. C 8. B

二、填空题

9. $[-1,3)$　10. 2　11. $\frac{3}{2}$　12. 17　13. 6

三、解答题

14.（1）原式 $=1+2\sqrt3-2\times\frac{\sqrt3}{2}+\frac{1}{2}=1+2\sqrt3-\sqrt3+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}+\sqrt3$。

（2）$x^2-5x+6=0$，即 $(x-2)(x-3)=0$，所以 $x_1=2$，$x_2=3$。

15. 解：设桥拱所在圆的半径为 $R$ 米，圆心为 $O$。水面宽16米，则半弦长为8米；桥拱最高点到水面的距离为8米，则圆心到水面的距离为 $R-8$ 米。

（1）由垂径定理与勾股定理，得 $R^2=8^2+(R-8)^2$，即 $R^2=64+R^2-16R+64$，解得 $R=8$。所以桥拱所在圆的半径为8米。

（2）当水面下降2米时，圆心到水面的距离为2米。设此时半弦长为 $x$，则 $x^2+2^2=8^2$，得 $x^2=60$，所以 $x=2\sqrt{15}$。此时水面宽度为 $4\sqrt{15}$ 米。

16. 解：（1）滑梯顶端离地面的高度为 $10\sin 30^\circ=10\times\frac{1}{2}=5$（米）。

（2）滑梯底端到顶端正下方的水平距离为 $10\cos 30^\circ=10\times\frac{\sqrt3}{2}=5\sqrt3$（米）。

17. 解：（1）令 $y=0$，得 $-x^2+2x+3=0$，即 $(x-3)(x+1)=0$，所以 $x_1=3$，$x_2=-1$。抛物线与 $x$ 轴的交点坐标为 $(3,0)$，$(-1,0)$。

（2）配方得 $y=-(x-1)^2+4$，所以顶点坐标为 $(1,4)$，对称轴为直线 $x=1$。

（3）当 $0\le x\le 4$ 时，顶点 $x=1$ 在区间内，所以最大值 $y=4$。比较两端点：当 $x=0$ 时，$y=3$；当 $x=4$ 时，$y=-5$。所以最小值为 $-5$。

18. 解：（1）因为 $AB=AC=5$，$O$ 为 $BC$ 中点，所以 $AO\perp BC$，$BO=3$。在 $Rt\triangle ABO$ 中，$AO=\sqrt{AB^2-BO^2}=\sqrt{25-9}=4$。

（2）$⊙O$ 的半径为 $\frac{1}{2}BC=3$。

（3）证明：因为 $BC$ 是 $⊙O$ 的直径，点 $E$ 在 $⊙O$ 上，所以 $\angle BEC=90^\circ$。

（4）因为 $S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times BC\times AO=\frac{1}{2}\times 6\times 4=12$，又 $S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times AB\times CE=\frac{1}{2}\times 5\times CE$，所以 $CE=\frac{24}{5}$。

在 $Rt\triangle BEC$ 中，$BE=\sqrt{BC^2-CE^2}=\sqrt{36-\frac{576}{25}}=\sqrt{\frac{324}{25}}=\frac{18}{5}$。

所以 $AE=AB-BE=5-\frac{18}{5}=\frac{7}{5}$。由对称性可知 $AF=AE=\frac{7}{5}$，且 $EF\parallel BC$，所以 $\triangle AEF\sim\triangle ABC$。因此 $\frac{EF}{BC}=\frac{AE}{AB}=\frac{7}{25}$，故 $EF=6\times\frac{7}{25}=\frac{42}{25}$。

B卷·填空题

19. $\{1,2,3\}$　20. 1　21. 4　22. 5　23. $6\sqrt3$

19 解析：$A=\{1,3\}$，$B=\{2,3\}$，所以 $A\cup B=\{1,2,3\}$。

20 解析：$\frac{3-i}{1+i}=\frac{(3-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{3-3i-i+i^2}{2}=\frac{2-4i}{2}=1-2i$，实部为1。

21 解析：由一元二次方程根与系数的关系，两根之和为6，已知一个根为2，则另一个根为4。

22 解析：顶点坐标为 $(-1,5)$，因为 $a=-3\lt 0$，函数有最大值5。

23 解析：由垂径定理得半弦长为 $6\sin 60^\circ=6\times\frac{\sqrt3}{2}=3\sqrt3$，所以弦 $AB=6\sqrt3$。

B卷·解答题

24. 解：$A=\{x\mid x^2-5x+6=0\}=\{2,3\}$。

因为 $B\subseteq A$，分情况讨论：

① 当 $a=0$ 时，$B=\varnothing$，符合题意；

② 当 $a\neq 0$ 时，$B=\left\{\frac{2}{a}\right\}$。若 $B=\{2\}$，则 $\frac{2}{a}=2$，得 $a=1$；若 $B=\{3\}$，则 $\frac{2}{a}=3$，得 $a=\frac{2}{3}$。

综上，实数 $a$ 的值组成的集合为 $\left\{0,1,\frac{2}{3}\right\}$。

25. 解：（1）若 $z$ 为实数，则虚部 $m-2=0$，所以 $m=2$。

（2）若 $z$ 为纯虚数，则实部 $m^2-3m+2=0$ 且虚部 $m-2\neq 0$。由 $m^2-3m+2=0$，得 $m=1$ 或 $m=2$。又 $m\neq 2$，所以 $m=1$。

（3）当 $m=3$ 时，$z=(9-9+2)+(3-2)i=2+i$，所以 $|z|=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt5$。

26. 解：（1）经过 $t$ 秒后，点 $P$ 表示的数为 $-10+2t$；点 $Q$ 表示的数为 $20-3t$。

（2）当 $P$、$Q$ 相遇时，$-10+2t=20-3t$，解得 $5t=30$，所以 $t=6$。此时相遇地点表示的数为 $-10+2\times 6=2$。

（3）由题意得 $PQ=\left|(-10+2t)-(20-3t)\right|=\left|5t-30\right|=5$。

所以 $5t-30=5$ 或 $5t-30=-5$，解得 $t=7$ 或 $t=5$。