高二数学选修一 第一章 空间向量与立体几何 测试卷

完成时间：_______ 分钟          得分：_______

一、单项选择题（共7题，每题5分，共35分）

1. 已知向量 $\vec{a}=(1,2,-1)$，$\vec{b}=(-2,1,3)$，则 $\vec{a}\cdot\vec{b}$ 的值为（         ）

A. $-3$      B. $3$      C. $-1$      D. $1$

2. 已知向量 $\vec{a}=(2,-1,3)$，$\vec{b}=(1,2,-2)$，则 $\vec{a}+\vec{b}$ 等于（         ）

A. $(3,1,1)$      B. $(1,-3,5)$      C. $(3,1,5)$      D. $(1,1,1)$

3. 已知向量 $\vec{a}=(1,0,-1)$，$\vec{b}=(2,1,0)$，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（         ）

A. $30^{\circ}$      B. $45^{\circ}$      C. $60^{\circ}$      D. $90^{\circ}$

4. 已知向量 $\vec{a}=(1,2,2)$，则 $|\vec{a}|$ 等于（         ）

A. $2$      B. $3$      C. $4$      D. $5$

5. 已知向量 $\vec{a}=(1,-1,2)$，$\vec{b}=(2,1,-1)$，若 $\vec{a}\perp\vec{b}$，则实数 $k$ 满足 $\vec{a}+k\vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 垂直，则 $k$ 的值为（         ）

A. $-1$      B. $0$      C. $1$      D. $2$

6. 在正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，棱长为 $1$，则异面直线 $AC$ 与 $BD_1$ 所成角的余弦值为（         ）

A. $\frac{\sqrt{3}}{3}$      B. $\frac{\sqrt{6}}{3}$      C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$      D. $\frac{1}{2}$

7. 已知平面 $\alpha$ 的一个法向量为 $\vec{n}=(1,2,-1)$，平面 $\beta$ 的一个法向量为 $\vec{m}=(-2,1,k)$，若 $\alpha\parallel\beta$，则 $k$ 的值为（         ）

A. $-3$      B. $3$      C. $-\frac{1}{2}$      D. $\frac{1}{2}$

二、填空题（共2题，每题5分，共10分）

1. 已知向量 $\vec{a}=(2,-1,3)$，$\vec{b}=(1,2,-2)$，则 $\vec{a}\cdot\vec{b}=$ ________。

2. 在空间直角坐标系中，已知点 $A(1,0,2)$，$B(3,2,1)$，则线段 $AB$ 的中点坐标为 ________。

三、解答题（共1题，共15分）

1. 在长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$AB=2$，$AD=1$，$AA_1=3$。以 $A$ 为原点，分别以 $AB$、$AD$、$AA_1$ 所在直线为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴建立空间直角坐标系。

（1）写出 $A$、$B$、$C$、$D_1$ 四点的坐标；（5分）

答：________________________________________

（2）求向量 $\overrightarrow{AC}$ 与 $\overrightarrow{BD_1}$ 的坐标表示，并求它们的数量积；（5分）

答：________________________________________

（3）求异面直线 $AC$ 与 $BD_1$ 所成角的余弦值。（5分）

答：________________________________________