数学高中公开试卷

高一数学综合测试题

高一数学综合测试题完成时间：_______ 分钟得分：_______ 一、选择题（共8题，每小题5分） 1. 已知集合 A = { x ∣ x 2 − 3 x + 2 = 0 } A = \{x \mid x^2 - 3x + 2 = 0\} A = { x ∣ x 2 − 3 x + 2 = 0 } ， B = { 1 , 2 , 3 } B = \{

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高一数学综合测试题

完成时间：_______ 分钟得分：_______

一、选择题（共8题，每小题5分）

1. 已知集合 $A = \{x \mid x^2 - 3x + 2 = 0\}$ ， $B = \{1, 2, 3\}$ ，则 $A \cup B$ 等于（）

A. $\{1, 2\}$ B. $\{1, 2, 3\}$ C. $\{1, 3\}$ D. $\{2, 3\}$

2. 函数 $f(x) = \sqrt{x - 1} + \frac{1}{x - 2}$ 的定义域为（）

A. $[1, +\infty)$ B. $(1, 2) \cup (2, +\infty)$ C. $[1, 2) \cup (2, +\infty)$ D. $(1, +\infty)$

3. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（）

A. $y = x^2$ B. $y = x^3$ C. $y = \frac{1}{x}$ D. $y = |x|$

4. 已知 $a = 2^{0.3}$ ， $b = 0.3^2$ ， $c = \log_2 0.3$ ，则 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的大小关系为（）

A. $a > b > c$ B. $b > a > c$ C. $c > a > b$ D. $a > c > b$

5. 若 $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ ，且 $\alpha$ 是第二象限角，则 $\cos \alpha$ 的值为（）

A. $\frac{4}{5}$ B. $-\frac{4}{5}$ C. $\frac{3}{4}$ D. $-\frac{3}{4}$

6. 已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (3, -1)$ ，则 $2\vec{a} + \vec{b}$ 等于（）

A. $(5, 3)$ B. $(5, 1)$ C. $(7, 3)$ D. $(7, 1)$

7. 函数 $y = \sin(2x + \frac{\pi}{3})$ 的最小正周期为（）

A. $\pi$ B. $2\pi$ C. $\frac{\pi}{2}$ D. $4\pi$

8. 若 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $x + 2y = 1$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为（）

A. $3 + 2\sqrt{2}$ B. $4$ C. $3$ D. $2 + 2\sqrt{2}$

二、填空题（共4题，每小题5分）

9. 已知 $f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & x \leq 0 \\ 2x - 1, & x > 0 \end{cases}$ ，则 $f(f(-1)) =$ ______	10. 不等式 $x^2 - 5x + 6 < 0$ 的解集为 ______
11. 已知 $\tan \alpha = 2$ ，则 $\frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha} =$ ______	12. 若函数 $y = x^2 - 2ax + 3$ 在区间 $[2, +\infty)$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是 ______

三、解答题（共3题，共40分）

13.（本小题满分12分） 已知函数 $f(x) = \frac{2x - 1}{x + 1}$ 。

（1）判断函数 $f(x)$ 在区间 $[1, +\infty)$ 上的单调性，并用定义证明；

（2）求函数 $f(x)$ 在区间 $[1, 3]$ 上的最大值和最小值。

答：________________________________________________________________________________

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14.（本小题满分14分） 已知函数 $f(x) = \sin(2x - \frac{\pi}{6})$ 。

（1）求函数 $f(x)$ 的对称轴方程和对称中心坐标；

（2）求函数 $f(x)$ 在区间 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 上的值域；

（3）说明函数 $y = \sin x$ 的图象经过怎样的变换可以得到函数 $y = f(x)$ 的图象。

答：________________________________________________________________________________

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15.（本小题满分14分） 某工厂生产一种产品，年固定成本为 200 万元，每生产 1 万件产品需另投入成本 $C(x)$ 万元，已知 $C(x) = \frac{1}{3}x^2 + 10x$ （万元）。当年产量为 $x$ 万件时，每件产品的售价为 30 元，且当年生产的商品当年全部售完。

（1）求年利润 $L(x)$ （万元）关于年产量 $x$ （万件）的函数关系式；

（2）当年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少万元？

答：________________________________________________________________________________

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四、附加题（共1题，10分）

16.（本小题满分10分） 已知函数 $f(x) = \log_a (x + 1)$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）， $g(x) = \log_a (1 - x)$ 。

（1）求函数 $F(x) = f(x) + g(x)$ 的定义域；

（2）判断函数 $F(x)$ 的奇偶性，并说明理由；

（3）若 $F(x) > 0$ ，求实数 $x$ 的取值范围。

答：________________________________________________________________________________

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