高铁提速与自动驾驶应用性试题

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一、分式方程行程问题（难度：7）

1. 甲、乙两地相距 480 千米。某次高铁提速后，高铁的平均速度是普通列车的 3 倍，乘坐高铁从甲地到乙地比乘坐普通列车少用 4 小时。求高铁提速后的平均速度是多少千米/小时？

解：设普通列车的平均速度为 $x$ 千米/小时，则高铁提速后的平均速度为 $3x$ 千米/小时。

根据题意，可列分式方程：

$$\frac{480}{x} - \frac{480}{3x} = 4$$

解这个方程：

$$\frac{480}{x} - \frac{160}{x} = 4$$

$$\frac{320}{x} = 4$$

$$x = 80$$

经检验，$x = 80$ 是原方程的解，且符合实际意义。

所以高铁提速后的平均速度为：$3 \times 80 = 240$（千米/小时）

答：高铁提速后的平均速度是 240 千米/小时。

二、不等式方案问题（难度：2）

2. 某高铁站计划采购一批自动驾驶接驳车用于接送旅客。现有甲、乙两种型号的接驳车可供选择，其中甲型车每辆每天可接送旅客 120 人次，乙型车每辆每天可接送旅客 80 人次。该站每天至少需要接送旅客 960 人次，且采购的车辆总数不超过 10 辆。若甲型车每辆每天运营成本为 300 元，乙型车每辆每天运营成本为 200 元，问应如何安排采购方案，才能使每天的运营成本最低？最低运营成本是多少元？

解：设采购甲型车 $a$ 辆，则采购乙型车 $(10 - a)$ 辆。

根据题意，可列不等式组：

$$120a + 80(10 - a) \geq 960$$

化简得：

$$120a + 800 - 80a \geq 960$$

$$40a \geq 160$$

$$a \geq 4$$

又因为车辆总数不超过 10 辆，且 $a$ 为非负整数，所以 $a$ 的取值范围为：$4 \leq a \leq 10$。

设每天总运营成本为 $W$ 元，则：

$$W = 300a + 200(10 - a) = 300a + 2000 - 200a = 100a + 2000$$

因为 $W$ 随 $a$ 的增大而增大，所以当 $a = 4$ 时，$W$ 取得最小值。

此时 $W = 100 \times 4 + 2000 = 2400$（元），乙型车采购 $10 - 4 = 6$（辆）。

答：应采购甲型车     4     辆，乙型车     6     辆，最低运营成本为     2400     元。

三、一次函数综合应用（难度：7）

3. 某自动驾驶汽车公司对一款新型自动驾驶汽车进行路测。该汽车在一条笔直的高速公路上行驶，其行驶路程 $s$（千米）与行驶时间 $t$（小时）之间的关系如下表所示：

（1）求 $s$ 与 $t$ 之间的函数关系式，并判断它是否为一次函数？

（2）若该汽车保持此速度匀速行驶，从甲城到乙城共需行驶 4.5 小时，求甲、乙两城之间的路程。

（3）该汽车行驶过程中，自动驾驶系统每行驶 2 小时会自动进行 15 分钟的安全自检（自检期间汽车保持原速行驶）。若从甲城到乙城全程 540 千米，求该汽车实际需要多少小时到达乙城？

解：

（1）观察表格数据，当 $t = 0$ 时，$s = 0$；当 $t$ 每增加 1 小时，$s$ 增加 90 千米，即速度恒定为 90 千米/小时。

所以 $s$ 与 $t$ 之间的函数关系式为：

$$s = 90t$$

该函数是一次函数（也是正比例函数）。

（2）当 $t = 4.5$ 时，$s = 90 \times 4.5 = 405$（千米）。

所以甲、乙两城之间的路程为     405     千米。

（3）全程 540 千米，按原速行驶所需时间为：$540 \div 90 = 6$（小时）。

行驶 6 小时中，每行驶 2 小时自检 15 分钟，则 6 小时内共自检：$6 \div 2 = 3$（次），但第 3 次自检发生在行驶满 6 小时时，此时已到达乙城，无需再自检，所以实际自检 2 次。

自检总时间为：$2 \times 15 = 30$（分钟）= 0.5 小时。

实际需要时间为：$6 + 0.5 = 6.5$（小时）。

答：该汽车实际需要     6.5     小时到达乙城。