初三数学知识点诊断性试卷

（基于孝感一模83分/120分） 姓名：_______ 完成时间：60分钟

试卷说明：本试卷旨在诊断中等偏上分数段（70-85分）学生的知识薄弱点，题目覆盖中考核心且易失分模块。

一、选择题（共3题，每题5分）

1. 关于$x$的一元二次方程 $x^2 - 2kx + k^2 - 1 = 0$ 的根的情况是（     ）

A. 有两个不相等的实数根     B. 有两个相等的实数根     C. 没有实数根     D. 根的情况与$k$的取值有关

2. 如图，在$\triangle ABC$中，$DE \parallel BC$，$AD = 2$，$BD = 3$，$DE = 4$，则$BC$的长为（     ）

A. 6 B. 8 C. 10 D. 12

3. 二次函数 $y = ax^2 + bx + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ）

A. $a > 0, b < 0, c > 0$     B. $a < 0, b < 0, c > 0$     C. $a < 0, b > 0, c > 0$     D. $a < 0, b > 0, c < 0$

二、填空题（共2题，每题5分）

4. 若关于$x$的分式方程 $\frac{2}{x-3} + \frac{x+m}{3-x} = 2$ 会产生增根，则$m$的值为 _______.

5. 如图，扇形$AOB$的圆心角为$90^\circ$，半径为$4$，$C$是$\widehat{AB}$的中点，$CD \parallel OA$，交$OB$于点$D$，则阴影部分的面积为 _______. （结果保留$\pi$）

三、解答题（共3题，第6题10分，第7题15分，第8题15分）

6. （10分）先化简，再求值：$\left(\frac{x}{x-1} - 1\right) \div \frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 - 1}$，其中$x$满足 $x^2 - x - 2 = 0$.

7. （15分）如图，$AB$是$\odot O$的直径，$C$，$D$是$\odot O$上两点，且$\widehat{BC} = \widehat{CD}$，过点$C$作$CE \perp AD$，交$AD$的延长线于点$E$，交$AB$的延长线于点$F$。

（1）求证：$CE$是$\odot O$的切线；

（2）若$DE = 1$，$AD = 3$，求$\odot O$的半径。

8. （15分）在平面直角坐标系$xOy$中，抛物线 $y = ax^2 + bx + 2$ 经过点$A(-2, 0)$和$B(1, 0)$。

（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；

（2）点$P(m, n)$为抛物线上一点（点$P$不与点$A$，$B$重合），当$\angle APB = 90^\circ$时，求点$P$的坐标；

（3）设直线$l：y = kx - 2$