初三数学上册 二次函数 课堂练习题

完成时间：_______ 分钟 得分：_______

一、选择题（每小题 4 分，共 32 分）

1. 下列函数中，是二次函数的是（ ）

A. $y = 2x + 1$    B. $y = \frac{1}{x^2}$    C. $y = x^2 - 3x + 2$    D. $y = x^3 - 1$

2. 抛物线 $y = 2(x-3)^2 + 1$ 的顶点坐标是（         ）

A. $(3, 1)$    B. $(-3, 1)$    C. $(3, -1)$    D. $(-3, -1)$

3. 抛物线 $y = -x^2 + 4x - 3$ 的对称轴是（         ）

A. 直线 $x = -2$    B. 直线 $x = 2$    C. 直线 $x = 4$    D. 直线 $x = -4$

4. 二次函数 $y = x^2 - 2x - 3$ 的图象与 $x$ 轴的交点个数是（         ）

A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 无法确定

5. 若抛物线 $y = ax^2$ 经过点 $(2, 8)$，则 $a$ 的值是（         ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

6. 将抛物线 $y = x^2$ 先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，所得抛物线的解析式为（         ）

A. $y = (x+2)^2 + 3$    B. $y = (x-2)^2 + 3$    C. $y = (x+2)^2 - 3$    D. $y = (x-2)^2 - 3$

7. 二次函数 $y = -2(x-1)^2 + 5$，当 $x$ 取何值时 $y$ 有最大值，最大值是多少（         ）

A. $x = 1$，最大值 5    B. $x = -1$，最大值 5    C. $x = 1$，最大值 -5    D. $x = -1$，最大值 -5

8. 已知二次函数 $y = x^2 - 4x + m$ 的图象与 $x$ 轴只有一个公共点，则 $m$ 的值为（         ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

二、填空题（每小题 4 分，共 24 分）

三、解答题（共 44 分）

1.（10 分）已知二次函数 $y = x^2 - 4x + 3$。

（1）把它化成 $y = a(x-h)^2 + k$ 的形式；

（2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；

（3）求它与 $x$ 轴、$y$ 轴的交点坐标。

解：

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2.（10 分）已知抛物线 $y = ax^2 + bx + c$ 经过点 $A(-1, 0)$、$B(3, 0)$、$C(0, -3)$。

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）求这条抛物线的顶点坐标。

解：

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3.（12 分）某商店销售一种进价为每件 20 元的商品，经市场调查发现，若售价定为每件 $x$ 元（$20 \le x \le 40$），每天的销售量为 $(60 - x)$ 件。设每天获得的利润为 $W$ 元。

（1）求 $W$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

（2）售价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？

解：

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4.（12 分）已知二次函数 $y = x^2 - 2x - 3$。

（1）在平面直角坐标系中，说明该抛物线可以由抛物线 $y = x^2$ 经过怎样的平移得到；

（2）当 $-2 \le x \le 3$ 时，求函数 $y$ 的最大值和最小值。

解：

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参考答案

一、选择题

1. C 2. A 3. B 4. C 5. B 6. B 7. A 8. C

解析：

1. 二次函数的一般形式为 $y = ax^2 + bx + c\ (a \ne 0)$，只有 C 符合。

2. 顶点式 $y = a(x-h)^2 + k$ 的顶点为 $(h, k)$，故顶点为 $(3, 1)$。

3. 对称轴为 $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \times (-1)} = 2$。

4. 令 $y = 0$，得 $x^2 - 2x - 3 = 0$，$\Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times (-3) = 16 > 0$，故有 2 个交点。

5. 把 $(2, 8)$ 代入 $y = ax^2$，得 $4a = 8$，$a = 2$。

6. 右移 2 个单位得 $y = (x-2)^2$，再上移 3 个单位得 $y = (x-2)^2 + 3$。

7. $a = -2 < 0$，开口向下，当 $x = 1$ 时取得最大值 5。

8. 只有一个公共点，则 $\Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times m = 16 - 4m = 0$，得 $m = 4$。

二、填空题

1. 二次项系数是 3，一次项系数是 -6，常数项是 1。

2. 开口方向向下（$a = -1 < 0$）；$y = -(x^2 - 2x) + 3 = -(x-1)^2 + 4$，顶点坐标为 $(1, 4)$。

3. 有两个不同交点，则 $\Delta = b^2 - 4 \times 1 \times 9 = b^2 - 36 > 0$，故 $b > 6$ 或 $b < -6$。

4. 令 $x = 0$，得 $y = 0$，交点坐标为 $(0, 0)$。

5. 设 $y = a(x-2)^2 - 3$，把 $(0, 1)$ 代入得 $4a - 3 = 1$，$a = 1$。

6. 令 $x^2 - 6x + 5 = 0$，得 $x_1 = 1$，$x_2 = 5$。因 $a = 1 > 0$，开口向上，故当 $1 < x < 5$ 时 $y < 0$。

三、解答题

1. 解：

（1）$y = x^2 - 4x + 3 = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 3 = (x-2)^2 - 1$。

（2）$a = 1 > 0$，开口向上；对称轴为直线 $x = 2$；顶点坐标为 $(2, -1)$。

（3）令 $y = 0$，得 $(x-2)^2 - 1 = 0$，即 $x - 2 = \pm 1$，解得 $x_1 = 1$，$x_2 = 3$，与 $x$ 轴交点为 $(1, 0)$、$(3, 0)$；令 $x = 0$，得 $y = 3$，与 $y$ 轴交点为 $(0, 3)$。

2. 解：

（1）由 $A(-1, 0)$、$B(3, 0)$ 可设 $y = a(x+1)(x-3)$。把 $C(0, -3)$ 代入得 $a(0+1)(0-3) = -3$，即 $-3a = -3$，$a = 1$。所以 $y = (x+1)(x-3) = x^2 - 2x - 3$。

（2）$y = x^2 - 2x - 3 = (x-1)^2 - 4$，顶点坐标为 $(1, -4)$。

3. 解：

（1）每件利润为 $(x - 20)$ 元，销售量为 $(60 - x)$ 件，所以

$$W = (x-20)(60-x) = -x^2 + 80x - 1200\ (20 \le x \le 40)$$

（2）$W = -x^2 + 80x - 1200 = -(x-40)^2 + 400$。

因为 $a = -1 < 0$，开口向下，当 $x = 40$ 时 $W$ 取得最大值 400。

答：售价定为每件 40 元时，每天获得的利润最大，最大利润是 400 元。

4. 解：

（1）$y = x^2 - 2x - 3 = (x-1)^2 - 4$，所以该抛物线可以由抛物线 $y = x^2$ 先向右平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位得到。

（2）抛物线开口向上，对称轴为直线 $x = 1$，顶点为 $(1, -4)$。

因为 $1$ 在 $-2 \le x \le 3$ 范围内，所以当 $x = 1$ 时，$y$ 取最小值 $y_{\min} = -4$。

当 $x = -2$ 时，$y = 4 + 4 - 3 = 5$；当 $x = 3$ 时，$y = 9 - 6 - 3 = 0$。

比较得，当 $x = -2$ 时，$y$ 取最大值 $y_{\max} = 5$。

所以当 $-2 \le x \le 3$ 时，函数 $y$ 的最大值为 5，最小值为 -4。