双曲线的标准方程与简单几何性质解答题

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一、简单解答题（共5题）

1. 求双曲线 $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$ 的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率及渐近线方程。

2. 已知双曲线的中心在原点，焦点在 $x$ 轴上，$a=4$，$b=3$，求双曲线的标准方程及其离心率。

3. 已知双曲线的渐近线方程为 $y = \pm \frac{3}{5}x$，焦点在 $x$ 轴上，焦距为 $2\sqrt{34}$，求双曲线的标准方程。

4. 求以椭圆 $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ 的焦点为顶点，且以椭圆的顶点为焦点的双曲线的标准方程。

5. 已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 的离心率为 $\sqrt{2}$，求双曲线的渐近线方程，并判断该双曲线是否为等轴双曲线。

二、中等解答题（共1题）

6. 设双曲线 $C$ 的中心在原点，焦点在 $x$ 轴上，离心率为 $\frac{2\sqrt{3}}{3}$，且过点 $P(3, \sqrt{2})$。

（1）求双曲线 $C$ 的标准方程；

（2）若直线 $l: y = kx + 2$ 与双曲线 $C$ 有且只有一个公共点，求实数 $k$ 的值。

答：