对数与对数函数练习题

一、选择题（共8题，每题5分）

1. 计算 $\log_{2}16 + \log_{3}\frac{1}{9}$ 的结果是（         ）

A. 2

B. 0

C. -2

D. 4

2. 已知 $2^a = 3$，则 $\log_{3}4$ 用 $a$ 表示为（         ）

A. $\frac{2}{a}$

B. $\frac{1}{2a}$

C. $2a$

D. $a^2$

3. 函数 $y = \log_{\frac{1}{2}}(x+1)$ 的定义域为（         ）

A. $(-1, +\infty)$

B. $[ -1, +\infty )$

C. $(0, +\infty)$

D. $(-\infty, -1)$

4. 若 $\log_{a}\frac{2}{3} < 1$（$a > 0$ 且 $a \neq 1$），则 $a$ 的取值范围是（         ）

A. $0 < a < \frac{2}{3}$

B. $a > \frac{2}{3}$

C. $0 < a < \frac{2}{3}$ 或 $a > 1$

D. $\frac{2}{3} < a < 1$

5. 函数 $y = \lg(x^2 - 3x + 2)$ 的定义域是（         ）

A. $(1, 2)$

B. $(-\infty, 1) \cup (2, +\infty)$

C. $(-\infty, 1]$

D. $[2, +\infty)$

6. 已知函数 $f(x) = \log_{3}(x^2 - 2x + 5)$ 的值域为（         ）

A. $[1, +\infty)$

B. $[ \log_{3}4, +\infty)$

C. $[2, +\infty)$

D. $[0, +\infty)$

7. 设 $a = \log_{0.3}0.4$，$b = \log_{2}0.3$，则（         ）

A. $a > b$

B. $a = b$

C. $a < b$

D. 无法比较

8. 计算 $(\log_{2}3 + \log_{4}9) \cdot \log_{3}2$ 的值为（         ）

A. 1

B. 2

C. 3

D. $\frac{5}{2}$

二、填空题（共4题，每题5分）

三、解答题（共3题，每题10分）

13. 已知函数 $f(x) = \log_{a}(x - 1)$（$a > 0$ 且 $a \neq 1$）的图像恒过定点 $P$，求点 $P$ 的坐标；若 $f(5) = 2$，求 $a$ 的值。

14. 已知 $\log_{a}2 = m$，$\log_{a}3 = n$（$a > 0$ 且 $a \neq 1$）.

（1）求 $\log_{a}18$ 的值；

（2）求 $\log_{a}\frac{4}{3}$ 的值；

（3）若 $m + n = \log_{a}6$，求 $\log_{a}36$ 的值。

15. 设 $a > 0$ 且 $a \neq 1$，函数 $f(x) = \log_{a}(a^{x} - 1)$。

（1）求 $f(x)$ 的定义域；

（2）解关于 $x$ 的方程 $f(2x) = f^{-1}(x)$。