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数学高中公开试卷

高三数学·几何综合练习题

高三数学·几何综合练习题 （满分：100分 考试时间：90分钟） 姓名：__________ 学号：__________ 班级：__________ 完成时间：______分钟 得分：______分 注意事项：本卷所有题目均可根据文字条件独立作答。选择题为单项选择题；解答题须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 一、单项选择题（共8题，每题4分，共32分

试卷正文

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高三数学·几何综合练习题


（满分：100分 考试时间：90分钟）

姓名：__________ 学号：__________ 班级：__________

完成时间：______分钟 得分：______分

注意事项：本卷所有题目均可根据文字条件独立作答。选择题为单项选择题；解答题须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。


一、单项选择题（共8题，每题4分，共32分）

1. 已知空间向量 a=(1,2,−1)\boldsymbol a = (1,2,-1)，b=(2,−1,0)\boldsymbol b = (2,-1,0)，则 a\boldsymbol a 与 b\boldsymbol b 的夹角为（　　）

A. 0∘0^\circ　　B. 60∘60^\circ　　C. 90∘90^\circ　　D. 180∘180^\circ


2. 圆 x2+y2−4x+6y−3=0x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0 的圆心和半径分别为（　　）

A. (2,−3)(2,-3)，44　　B. (−2,3)(-2,3)，44　　C. (2,−3)(2,-3)，22　　D. (−2,3)(-2,3)，22


3. 抛物线 y2=8xy^2 = 8x 的准线方程为（　　）

A. x=2x = 2　　B. x=−2x = -2　　C. y=2y = 2　　D. y=−2y = -2


4. 椭圆 x225+y29=1\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1 的离心率为（　　）

A. 35\frac35　　B. 45\frac45　　C. 34\frac34　　D. 54\frac54


5. 已知直线 l1:2x−y+1=0l_1: 2x - y + 1 = 0，l2:x+my−3=0l_2: x + my - 3 = 0。若 l1⊥l2l_1 \perp l_2，则 mm 的值为（　　）

A. −2-2　　B. −12-\frac12　　C. 12\frac12　　D. 22


6. 在棱长为 22 的正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，直线 AC1AC_1 与平面 ABCDABCD 所成角的正切值为（　　）

A. 12\frac12　　B. 22\frac{\sqrt2}{2}　　C. 2\sqrt2　　D. 3\sqrt3


7. 已知平面 α\alpha 的一个法向量为 n=(1,−2,2)\boldsymbol n = (1,-2,2)，直线 ll 的一个方向向量为 v=(2,−4,4)\boldsymbol v = (2,-4,4)，则（　　）

A. l∥αl \parallel \alpha　　B. l⊂αl \subset \alpha　　C. l⊥αl \perp \alpha　　D. ll 与 α\alpha 所成角为 45∘45^\circ


8. 在 △ABC\triangle ABC 中，AB=3AB = 3，AC=4AC = 4，∠BAC=60∘\angle BAC = 60^\circ，则 BCBC 的长为（　　）

A. 7\sqrt7　　B. 13\sqrt{13}　　C. 55　　D. 37\sqrt{37}


二、填空题（共6题，每题3分，共18分）

9. 点 P(1,2)P(1,2) 到直线 3x+4y−6=03x + 4y - 6 = 0 的距离为______。

10. 双曲线 x29−y216=1\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1 的焦距为______。

11. 圆 x2+y2=25x^2 + y^2 = 25 被直线 x=3x = 3 截得的弦长为______。

12. 已知 a=(1,0,2)\boldsymbol a = (1,0,2)，b=(2,1,0)\boldsymbol b = (2,1,0)，则 ∣a+b∣=|\boldsymbol a + \boldsymbol b| = ______。

13. 圆锥的底面半径为 33，高为 44，则其侧面积为____________。

14. 已知抛物线 y2=4xy^2 = 4x 的焦点为 FF，点 PP 在该抛物线上，且横坐标为 33，则 ∣PF∣=|PF| = ______。



三、解答题（共5题，每题10分，共50分）

请根据题目条件作答。涉及空间位置关系的结论须说明依据，涉及参数取值或最值的问题须注意取值条件。

15.（10分）在四面体 PABCPABC 中，PA⊥PA \perp 平面 ABCABC，AB⊥ACAB \perp AC，且 PA=AB=3PA = AB = 3，AC=4AC = 4。

（1）求四面体 PABCPABC 的体积。（3分）






（2）证明：AC⊥AC \perp 平面 PABPAB。（3分）






（3）求直线 PBPB 与平面 ABCABC 所成角的大小。（4分）








16.（10分）已知圆 C:(x−1)2+(y+2)2=25C: (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 25，直线 ll 经过点 P(6,0)P(6,0)。

（1）判断点 PP 与圆 CC 的位置关系，并说明理由。（3分）






（2）若直线 ll 与圆 CC 相切，求直线 ll 的所有可能方程。（4分）










（3）若直线 ll 与圆 CC 交于不同的两点 M,NM,N，求弦长 ∣MN∣|MN| 的最大值，并写出取得最大值时直线 ll 的方程。（3分）








17.（10分）已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的右顶点为 (3,0)(3,0)，右焦点为 (5,0)(\sqrt5,0)。直线 l:y=x+1l: y = x + 1 与椭圆 EE 交于 A,BA,B 两点。

（1）求椭圆 EE 的标准方程。（3分）






（2）求线段 ABAB 的中点坐标及弦长 ∣AB∣|AB|。（4分）










（3）设 OO 为坐标原点，求 △OAB\triangle OAB 的面积。（3分）








18.（10分）在正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，棱长为 22，MM 为棱 BB1BB_1 的中点。

（1）以 AA 为原点，以 AB→\overrightarrow{AB}、AD→\overrightarrow{AD}、AA1→\overrightarrow{AA_1} 的方向分别为 xx 轴、yy 轴、zz 轴的正方向，建立空间直角坐标系，写出 M,C,D1M,C,D_1 的坐标，并求平面 AMD1AMD_1 的一个法向量。（4分）

（2）求直线 ACAC 与平面 AMD1AMD_1 所成角的正弦值。（3分）

（3）求点 C1C_1 到平面 AMD1AMD_1 的距离。（3分）

19.（10分）已知椭圆 E:x24+y2=1E: \frac{x^2}{4} + y^2 = 1，点 P(0,2)P(0,2)，OO 为坐标原点。过点 PP 且斜率存在的直线 l:y=kx+2l: y = kx + 2 与椭圆 EE 交于不同的两点 A,BA,B。

（1）求实数 kk 的取值范围。（3分）

（2）求 △OAB\triangle OAB 面积的最大值，并求取得最大值时直线 ll 的方程。（7分）