广西人教版初中数学综合测试卷

（满分：100分 考试时间：90分钟）

姓名：__________ 学号：__________ 班级：__________

完成时间：_______ 分钟 得分：_______

注意事项：

1. 答题前请先填写姓名、学号和班级。

2. 请用黑色签字笔答题，作图可使用铅笔。

3. 选择题和填空题答案请填写在指定位置，解答题需写出必要的推理和计算过程。

4. 保持卷面整洁，考试结束后将试卷交回。

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 下列各数中，是负数的是（ ）

A. $-(-3)$    B. $|-3|$    C. $-3^2$    D. $(-3)^2$

2. 下列运算正确的是（ ）

A. $a^2 \cdot a^3 = a^6$    B. $(a^2)^3 = a^5$    C. $a^6 \div a^2 = a^4$    D. $a^2 + a^3 = a^5$

3. 若 $\angle A = 35°$，则 $\angle A$ 的余角为（         ）

A. $35°$    B. $55°$    C. $65°$    D. $145°$

4. 已知点 $P(2, -3)$，则点 $P$ 关于 $x$ 轴对称的点的坐标是（         ）

A. $(2, 3)$    B. $(-2, -3)$    C. $(-2, 3)$    D. $(3, -2)$

5. 一个多边形的内角和为 $720°$，则这个多边形的边数是（         ）

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

6. 若分式 $\frac{x-2}{x+1}$ 的值为 $0$，则 $x$ 的值为（         ）

A. $x = -1$    B. $x = 2$    C. $x = 1$    D. $x = -2$

7. 一次函数 $y = -2x + 3$ 的图象不经过（         ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

8. 在 $\triangle ABC$ 中，$D$、$E$ 分别是 $AB$、$AC$ 的中点，若 $DE = 4$，则 $BC$ 的长为（         ）

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

9. 一元二次方程 $x^2 - 4x + 3 = 0$ 的两根之和为（         ）

A. $-4$    B. $4$    C. $3$    D. $-3$

10. 抛物线 $y = x^2 - 2x + 3$ 的顶点坐标是（         ）

A. $(1, 2)$    B. $(-1, 2)$    C. $(1, 4)$    D. $(-1, 4)$

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

三、计算与解方程（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

17. 计算：$\sqrt{12} - 2\sin 60° + (3 - \pi)^0$

答：________________________________________

18. 解方程：$\frac{2}{x-1} = \frac{3}{x+1}$

答：________________________________________

19. 解方程：$x^2 - 6x + 5 = 0$

答：________________________________________

20. 解方程：$2x^2 - 4x - 1 = 0$

答：________________________________________

四、解答题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）

21. 先化简，再求值：$\left(1 + \frac{1}{x-1}\right) \div \frac{x}{x^2-1}$，其中 $x = 3$。

答：________________________________________

22. 已知一次函数 $y = kx + b$ 的图象经过点 $A(1, 3)$ 和点 $B(-1, -1)$。

（1）求这个一次函数的解析式；

（2）求该函数图象与 $x$ 轴的交点坐标。

答：________________________________________

23. 如图，在平行四边形 $ABCD$ 中，$E$、$F$ 分别是边 $AD$、$BC$ 上的点，且 $AE = CF$。求证：四边形 $BEDF$ 是平行四边形。

答：________________________________________

五、综合应用题（本大题共2小题，第24题6分，第25题8分，共14分）

24. 某商店销售一种商品，每件进价为 $40$ 元。经市场调查发现，当售价为每件 $60$ 元时，每天可售出 $100$ 件；售价每降低 $1$ 元，每天可多售出 $10$ 件。若商店希望每天获得利润 $2240$ 元，且尽可能让顾客得到优惠，则每件商品应降价多少元？

答：________________________________________

6. B 7. C 8. D 9. B 10. A

解析：

1. $-3^2 = -9$，是负数，故选 C。

25. 已知二次函数 $y = x^2 - 2x - 3$。

（1）求该抛物线与 $x$ 轴的交点坐标；

（2）求该抛物线的顶点坐标和对称轴；

（3）当 $-1 \le x \le 3$ 时，求函数 $y$ 的最大值和最小值。

答：________________________________________

参考答案

一、选择题（每小题3分，共30分）

1. C 2. C 3. B 4. A 5. B

2. $a^6 \div a^2 = a^4$，故选 C。

3. 余角为 $90° - 35° = 55°$，故选 B。

4. 关于 $x$ 轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，得 $(2, 3)$，故选 A。

5. 设边数为 $n$，则 $(n-2) \times 180° = 720°$，解得 $n = 6$，故选 B。

6. 分子为 $0$ 且分母不为 $0$，$x - 2 = 0$ 得 $x = 2$，此时 $x + 1 = 3 \ne 0$，故选 B。

7. $k = -2 < 0$，$b = 3 > 0$，图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故选 C。

8. $DE$ 是中位线，$BC = 2DE = 8$，故选 D。

9. 两根之和为 $-\frac{b}{a} = 4$，故选 B。

10. $y = x^2 - 2x + 3 = (x-1)^2 + 2$，顶点为 $(1, 2)$，故选 A。

二、填空题（每小题3分，共18分）

11. $-3$    12. $(x+3)(x-3)$    13. $0$

14. $x > 3$    15. $\frac{9}{4}$    16. $y = 2x^2 - 3$

解析：

11. $(-2)^3 + |-5| = -8 + 5 = -3$。

12. 平方差公式：$x^2 - 9 = (x+3)(x-3)$。

13. 互为相反数的两数之和为 $0$。

14. $2x > 6$，得 $x > 3$。

15. 有两个相等实数根，判别式 $\Delta = 9 - 4m = 0$，得 $m = \frac{9}{4}$。

16. 向下平移 $3$ 个单位，得 $y = 2x^2 - 3$。

三、计算与解方程（每小题5分，共20分）

17. 原式 $= 2\sqrt{3} - 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 = 2\sqrt{3} - \sqrt{3} + 1 = \sqrt{3} + 1$。

18. 去分母得 $2(x+1) = 3(x-1)$，即 $2x + 2 = 3x - 3$，解得 $x = 5$。检验：$x = 5$ 时，$x-1 = 4 \ne 0$，$x+1 = 6 \ne 0$，所以原方程的解为 $x = 5$。

19. 因式分解得 $(x-1)(x-5) = 0$，所以 $x_1 = 1$，$x_2 = 5$。

20. $a = 2$，$b = -4$，$c = -1$，$\Delta = (-4)^2 - 4 \times 2 \times (-1) = 16 + 8 = 24 > 0$，$x = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{4} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{6}}{2}$，所以 $x_1 = \frac{2 + \sqrt{6}}{2}$，$x_2 = \frac{2 - \sqrt{6}}{2}$。

四、解答题（每小题6分，共18分）

21. 原式 $= \frac{x-1+1}{x-1} \div \frac{x}{x^2-1} = \frac{x}{x-1} \times \frac{(x+1)(x-1)}{x} = x + 1$。当 $x = 3$ 时，原式 $= 3 + 1 = 4$。

22. （1）将 $A(1, 3)$、$B(-1, -1)$ 代入 $y = kx + b$，得 $\begin{cases} k + b = 3 \\ -k + b = -1 \end{cases}$，解得 $k = 2$，$b = 1$，所以一次函数解析式为 $y = 2x + 1$。

（2）令 $y = 0$，得 $2x + 1 = 0$，$x = -\frac{1}{2}$，所以与 $x$ 轴的交点坐标为 $\left(-\frac{1}{2}, 0\right)$。

23. 证明：因为四边形 $ABCD$ 是平行四边形，所以 $AD \parallel BC$，$AD = BC$。又因为 $AE = CF$，所以 $AD - AE = BC - CF$，即 $DE = BF$。又 $DE \parallel BF$，所以四边形 $BEDF$ 是平行四边形。

五、综合应用题（第24题6分，第25题8分，共14分）

24. 设每件商品降价 $x$ 元，则每件利润为 $(60 - x - 40)$ 元，每天销售量为 $(100 + 10x)$ 件。由题意得 $(20 - x)(100 + 10x) = 2240$，整理得 $x^2 - 10x + 24 = 0$，解得 $x_1 = 4$，$x_2 = 6$。因为要尽可能让顾客得到优惠，所以取 $x = 6$。答：每件商品应降价 $6$ 元。

25. （1）令 $y = 0$，得 $x^2 - 2x - 3 = 0$，即 $(x-3)(x+1) = 0$，解得 $x_1 = 3$，$x_2 = -1$，所以抛物线与 $x$ 轴的交点坐标为 $(-1, 0)$ 和 $(3, 0)$。

（2）$y = x^2 - 2x - 3 = (x-1)^2 - 4$，所以顶点坐标为 $(1, -4)$，对称轴为直线 $x = 1$。

（3）抛物线开口向上，对称轴为 $x = 1$，在 $-1 \le x \le 3$ 范围内包含顶点。当 $x = 1$ 时，$y$ 取最小值 $-4$；当 $x = -1$ 时，$y = 0$；当 $x = 3$ 时，$y = 0$。所以 $y$ 的最大值为 $0$，最小值为 $-4$。

评分标准

一、选择题：每小题3分，共30分，选错、多选、不选均不得分。

二、填空题：每小题3分，共18分，答案正确得分，否则不得分。

三、计算与解方程：每小题5分，共20分。计算题结果正确得满分，过程合理可酌情给分；解方程题得出正确解得满分，漏检验分式方程扣1分。

四、解答题：每小题6分，共18分。化简求值题化简正确得3分，代入求值得3分；函数题求解析式正确得3分，求交点坐标正确得3分；证明题推理过程完整、结论正确得满分，逻辑不完整酌情扣分。

五、综合应用题：第24题6分，设未知数并列出方程得3分，解方程并取舍得2分，作答得1分；第25题8分，每小题分值分别为3分、2分、3分，过程与结论均正确方可得分。