九年级数学 1-3 单元综合测试卷

（满分：100分 考试时间：90分钟）

完成时间：_______ 分钟              得分：_______

姓名：________________________              学号：________________________              班级：________________________

注意事项：

1. 答题前请先填写姓名、学号和班级。

2. 请用黑色签字笔或铅笔答题。

3. 保持卷面整洁。

4. 考试时间90分钟，满分100分。

一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）

1. 下列方程中，是一元二次方程的是（______）

A. $x + 2 = 0$      B. $x^2 + 2x + 1 = 0$      C. $x^2 + \frac{1}{x} = 0$      D. $x^2 + y^2 = 1$

2. 方程 $x^2 - 4x = 0$ 的根是（______）

A. $x = 0$      B. $x = 4$      C. $x_1 = 0, x_2 = 4$      D. $x_1 = 0, x_2 = -4$

3. 二次函数 $y = (x-1)^2 + 2$ 的顶点坐标是（______）

A. $(1, 2)$      B. $(-1, 2)$      C. $(1, -2)$      D. $(-1, -2)$

4. 抛物线 $y = -x^2 + 3x - 2$ 的开口方向是（______）

A. 向上      B. 向下      C. 向左      D. 向右

5. 反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象经过点 $(2, -3)$，则 $k$ 的值为（______）

A. $6$      B. $-6$      C. $\frac{2}{3}$      D. $-\frac{2}{3}$

6. 下列函数中，$y$ 是 $x$ 的反比例函数的是（______）

A. $y = 2x$      B. $y = \frac{1}{x}$      C. $y = x^2$      D. $y = x + 1$

7. 一元二次方程 $x^2 - 2x + 3 = 0$ 的根的情况是（______）

A. 有两个不相等的实数根      B. 有两个相等的实数根      C. 没有实数根      D. 无法确定

8. 二次函数 $y = x^2 - 4x + 3$ 的对称轴是（______）

A. $x = 2$      B. $x = -2$      C. $x = 1$      D. $x = 3$

9. 反比例函数 $y = \frac{2}{x}$ 的图象在（______）

A. 第一、二象限      B. 第一、三象限      C. 第二、四象限      D. 第三、四象限

10. 某商品原价 200 元，连续两次降价后售价为 162 元，若每次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为 $x$，则所列方程为（______）

A. $200(1+x)^2 = 162$      B. $200(1-x)^2 = 162$      C. $200(1-2x) = 162$      D. $200(1-x^2) = 162$

11. 方程 $x^2 = 9$ 的解为 ______。

二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）

12. 二次函数 $y = 2x^2 - 8x + 7$ 的最小值为 ______。

13. 反比例函数 $y = \frac{k-1}{x}$ 的图象在第二、四象限，则 $k$ 的取值范围是 ______。

14. 若 $x = 2$ 是方程 $x^2 - mx + 6 = 0$ 的一个根，则 $m$ 的值为 ______。

15. 抛物线 $y = x^2$ 向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，所得抛物线的解析式为 ______。

16. 已知点 $A(-2, y_1)$，$B(-1, y_2)$ 在反比例函数 $y = -\frac{3}{x}$ 的图象上，则 $y_1$ ______ $y_2$（填“＞”“＜”或“=”）

17. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 + 2x + k = 0$ 有两个相等的实数根，则 $k$ 的值为 ______。

18. 二次函数 $y = x^2 - 2x - 3$ 与 $x$ 轴的交点坐标为 ______。

三、解答题（本大题共 7 小题，共 46 分）

19.（6 分） 解方程：$x^2 - 5x + 6 = 0$。

20.（6 分） 解方程：$2x^2 - 4x - 1 = 0$（用配方法）。

21.（6 分） 已知二次函数 $y = x^2 - 2x - 3$。

（1）求该函数图象的顶点坐标和对称轴；

（2）当 $x$ 取何值时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大？

22.（6 分） 已知反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象经过点 $A(2, 3)$。

（1）求该反比例函数的解析式；

（2）判断点 $B(-1, -6)$ 是否在该函数图象上，并说明理由。

23.（7 分） 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元。为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件。若商场平均每天要盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？

24.（7 分） 一次函数 $y = kx + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象交于 $A(-2, 1)$，$B(1, n)$ 两点。

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）求 $\triangle AOB$ 的面积。

25.（8 分） 某商店销售一种商品，每件进价为 20 元。根据市场调查，当售价为每件 30 元时，每天可售出 100 件；售价每上涨 1 元，每天销量减少 2 件。设售价上涨 $x$ 元，每天利润为 $y$ 元。

（1）求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；

（2）售价定为多少元时，每天利润最大？最大利润是多少？

参考答案

一、选择题

1. B    2. C    3. A    4. B    5. B    6. B    7. C    8. A    9. B    10. B

二、填空题

11. $x = \pm 3$    12. $-1$    13. $k < 1$    14. $m = 5$    15. $y = (x+2)^2 - 3$    16. $>$    17. $k = 1$    18. $(-1, 0)$ 和 $(3, 0)$

三、解答题

19. 解：$(x-2)(x-3)=0$，所以 $x_1=2, x_2=3$。

20. 解：$2x^2 - 4x - 1 = 0$，$x^2 - 2x = \frac{1}{2}$，$(x-1)^2 = \frac{3}{2}$，$x-1 = \pm \sqrt{\frac{3}{2}}$，$x = 1 \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$。

21. 解：（1）$y = (x-1)^2 - 4$，顶点坐标 $(1, -4)$，对称轴 $x=1$。（2）当 $x > 1$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大。

22. 解：（1）将 $A(2,3)$ 代入 $y = \frac{k}{x}$，得 $k=6$，解析式为 $y = \frac{6}{x}$。（2）当 $x=-1$ 时，$y = -6$，所以点 $B(-1,-6)$ 在该函数图象上。

23. 解：设每件衬衫降价 $x$ 元，则每件盈利 $(40-x)$ 元，每天可售出 $(20+2x)$ 件。由题意得 $(40-x)(20+2x)=1200$，整理得 $x^2-30x+200=0$，解得 $x_1=10, x_2=20$。答：每件衬衫应降价 10 元或 20 元。

24. 解：（1）将 $A(-2,1)$ 代入 $y = \frac{m}{x}$，得 $m=-2$，反比例函数为 $y = -\frac{2}{x}$。将 $B(1,n)$ 代入得 $n=-2$。将 $A(-2,1)$ 和 $B(1,-2)$ 代入 $y=kx+b$，得 $\begin{cases} -2k+b=1 \\ k+b=-2 \end{cases}$，解得 $k=-1, b=-1$，一次函数为 $y=-x-1$。（2）$S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} \times 1 \times (1+2) = 1.5$。

25. 解：（1）$y = (30+x-20)(100-2x) = (10+x)(100-2x) = -2x^2 + 80x + 1000$。（2）$y = -2(x-20)^2 + 1800$，当 $x=20$ 时，$y$ 最大为 1800 元，此时售价为 $30+20=50$ 元。答：售价定为 50 元时，每天利润最大，最大利润为 1800 元。