山西省 2025 年中考 数学 模拟卷

（满分：120分 考试时间：120分钟）

姓名：__________ 学号：__________ 班级：__________

完成时间：_______ 分钟 得分：_______

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

11. 因式分解：$x^2 - 9y^2 =$ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．	12. 某商品原价为$a$元，因促销打八折销售，则现售价为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_元（用含$a$的代数式表示）．
13. 在平面直角坐标系中，将点$P(3, 4)$绕原点$O$顺时针旋转$90^\circ$，得到的对应点$P'$的坐标为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．	14. 一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外都相同，从袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
15. 如图，在$\triangle ABC$中，$DE \parallel BC$，$AD$平分$\angle BAC$，$AB=6$，$AC=4$，$DE=3$，则$BC$的长为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_． 

三、解答题（本大题共8个小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16.（本题共2个小题，每小题5分，共10分）

（1）计算：$(-1)^{2025} + |\sqrt{3}-2| - (\frac{1}{2})^{-2} + 2\sin60^\circ$．

（2）解方程组：$\begin{cases} 2x + y = 5 \\ 3x - 2y = 4 \end{cases}$．

17.（本题7分）

如图，一次函数$y=kx+b$ $(k \neq 0)$的图象与反比例函数$y=\frac{m}{x}$ $(m \neq 0)$的图象相交于$A(-1, 4)$，$B(2, n)$两点，与$x$轴交于点$C$．



（1）求反比例函数和一次函数的表达式；

（2）求点$C$的坐标；

（3）连接$OA$，$OB$，求$\triangle AOB$的面积．

18.（本题8分）

为响应“阳光体育”号召，某校开展了“我最喜爱的体育运动”调查活动。随机抽取了部分学生进行问卷调查（每人必选且只选一项），根据调查结果绘制了如下不完整的统计图表。



部分调查结果条形统计图



请根据图表信息，解答下列问题：

（1）本次共调查了______名学生，扇形统计图中“足球”所对应的圆心角度数为______°；

（2）请补全条形统计图；

（3）若该校共有2000名学生，请你估计该校最喜爱“篮球”运动的学生人数；

（4）请你根据调查结果，为学校体育器材的采购提出一条合理化建议。

19.（本题7分）

山西某地计划修建一条引水渠。甲工程队单独施工完成此项任务比乙工程队单独施工多用10天。若甲、乙两队合作施工8天后，剩下的工程由乙队单独施工3天恰好完成。求甲工程队单独施工完成此项任务需要多少天。

20.（本题8分）

鹳雀楼是山西省著名的历史名胜。某数学兴趣小组利用测角仪测量鹳雀楼的高度。如图，他们在与楼底$B$同一水平面的$C$处测得楼顶$A$的仰角为$37^\circ$，然后向楼的方向前进50米到达$D$处，在$D$处测得楼顶$A$的仰角为$45^\circ$。已知测角仪的高度忽略不计。



（1）设鹳雀楼的高度$AB$为$x$米，请你用含$x$的代数式表示线段$BD$和$BC$的长度；

（2）求鹳雀楼的高度$AB$（结果精确到1米。参考数据：$\sin 37^\circ \approx 0.60， \cos 37^\circ \approx 0.80， \tan 37^\circ \approx 0.75$）．

21.（本题9分）

阅读与理解

【概念感知】如果三角形一个内角的平分线与这个内角的对边相交，将三角形分成两个小三角形，且其中一个三角形与原三角形相似，那么我们称这个内角的平分线为这个三角形的“优美线”。

【初步探究】

问题1：如图1，在$\triangle ABC$中，$\angle BAC=60^\circ$，$AD$平分$\angle BAC$交$BC$于点$D$。若$AD$是$\triangle ABC$的“优美线”，则$\angle C=$______°。



【深入探究】

问题2：如图2，在矩形$ABCD$中，$AB=6$，$BC=8$，点$E$在边$BC$上，且$BE=2$。连接$AE$并延长，与$DC$的延长线交于点$F$。作$\angle AFD$