八年级数学第二次月考（人教版）

（满分：120分 考试时间：120分钟）

姓名：__________ 学号：__________ 班级：__________

完成时间：_______ 分钟 得分：_______

注意事项：

1. 答题前请先填写姓名、学号和班级。

2. 请用黑色签字笔或铅笔答题，保持卷面整洁。

3. 考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分）

1. 下列计算正确的是（ ）

A. $a^2 \cdot a^3 = a^6$ B. $(a^2)^3 = a^5$ C. $(ab)^2 = a^2b$ D. $(-a^2)^3 = -a^6$

2. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）

A.  B.  C.  D. 

3. 多项式 $6x^2y - 9xy^2$ 的公因式是（ ）

A. $3x$ B. $3xy$ C. $3x^2y$ D. $3xy^2$

4. 计算 $(12a^3 - 6a^2 + 3a) \div 3a$ 的结果是（ ）

A. $4a^2 - 2a + 1$ B. $4a^2 - 2a$ C. $4a^2 - 2a + 3$ D. $4a^3 - 2a^2 + 1$

5. 已知一个三角形的底边长为 $2x$，高为 $3x+1$，则该三角形的面积可表示为（ ）

A. $3x^2 + x$ B. $6x^2 + 2x$ C. $3x^2 + 2x$ D. $6x^2 + x$

6. 若 $x^2 + 2kx + 16$ 是一个完全平方式，则 $k$ 的值为（ ）

A. 4 B. 8 C. $\pm 4$ D. $\pm 8$

7. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$BD$ 平分 $\angle ABC$，$DE \parallel BC$。若 $\angle ABC = 60^\circ$，则 $\angle BDE$ 的度数为（ ）

A. $30^\circ$ B. $35^\circ$ C. $45^\circ$ D. $50^\circ$

8. 从一张边长为 $a+b$ 的正方形纸片中剪去一张边长为 $a-b$ 的小正方形纸片（$a>b>0$），将剩余部分沿虚线剪开后拼成一个矩形，能验证的等式是（ ）

A. $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ B. $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

C. $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ D. $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$

二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）

14. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB=13$，$AC=5$，$BC=12$，$\angle C = 90^\circ$，点 $A$ 关于直线 $BC$ 的对称点为 $A'$，点 $P$ 为 $BC$ 上一动点，则 $A'P$ 的最小值为 ______．

三、解答题（共12小题，计78分）

15. （6分）计算：

（1）$(-2a^2b)^3 \div (4a^3b)$（3分）

（2）$(x+2)(x-3) - (x-1)^2$（3分）

16. （6分）因式分解：

（1）$a^2b - 4b$（3分）

（2）$x^2 - 2x + 1 - y^2$（3分）

17. （6分）先化简，再求值：$(x+1)^2 - x(x-2)$，其中 $x = -\frac{1}{2}$。

18. （6分）尺规作图：如图，已知 $\triangle ABC$，请作出 $\angle BAC$ 的平分线与 $BC$ 边的垂直平分线，并标出交点 $P$。（保留作图痕迹，不写作法）

19. （6分）如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB=AC$，点 $D$ 在 $BC$ 的延长线上，点 $E$ 在 $BC$ 的反向延长线上，且 $BD=CE$。求证：$AD=AE$。



20. （6分）利用平方差公式简便计算：$103^2 - 97^2$。

21. （6分）小明在计算 $(x-2)(x+3)$ 时，得到结果为 $x^2 + x - 5$。请判断他的计算是否正确；若不正确，请指出错误原因，并写出正确的计算过程。

22. （6分）因式分解：$x^3 + 3x^2 - x - 3$。

23. （6分）已知 $(x+2)(x-m)$ 的展开式中不含 $x$ 的一次项，求 $m$ 的值。

24. （7分）如图，在等边三角形 $ABC$ 中，点 $D$、$E$ 分别在边 $AB$、$AC$ 上，且 $BD=CE$，连接 $CD$、$BE$ 交于点 $F$。求证：$\triangle BDF \cong \triangle CEF$。



25. （7分）如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle C=90^\circ$，$AC=3$，$BC=4$，$AD$ 平分 $\angle BAC$ 交 $BC$ 于点 $D$。求 $CD$ 的长。



26. （10分）数形结合综合题：已知边长为 $a$ 的大正方形，在其一个角上截去一个边长为 $b$ 的小正方形（$a>b>0$），剩余部分面积为 $a^2-b^2$。如图，将剩余部分沿图中虚线剪开，拼成一个长为 $a+b$、宽为 $a-b$ 的矩形。

（1）用两种方法表示剩余部分的面积；（3分）

（2）根据面积相等，验证平方差公式；（3分）

（3）利用平方差公式计算：$2024^2 - 2025 \times 2023$。（4分）