初一及初二上学期数学试卷

（满分：100分 考试时间：90分钟）

完成时间：_______ 分钟 得分：_______

姓名：__________ 学号：__________ 班级：__________

注意事项：

1. 答题前请先填写姓名、学号、班级。

2. 请用黑色签字笔答题，作图可使用铅笔。

3. 选择题、填空题答案直接写在题目相应位置。

4. 解答题须写出必要的推理过程或计算步骤，只写答案不得分。

5. 保持卷面整洁，考试结束后将试卷交回。

一、选择题（每小题3分，共30分）

1. 若 $a$ 是有理数，则下列判断正确的是（         ）

A. $-a$ 一定是负数    B. $|a|$ 一定是正数    C. $a^2$ 一定是非负数    D. $a^3$ 一定是正数

2. 已知 $|x| = 5$，$|y| = 3$，且 $xy < 0$，则 $x + y$ 的值为（         ）

A. 8 或 -8 B. 2 或 -2 C. 8 或 2 D. -8 或 -2

3. 下列说法中，正确的是（ ）

A. 单项式 $-\frac{2x^2y}{3}$ 的系数是 $-2$，次数是 3

B. 多项式 $3x^2 - 2x + 1$ 是二次三项式

C. $5a^2b$ 与 $-3ab^2$ 是同类项

D. $x^2 + \frac{1}{x}$ 是整式

4. 若关于 $x$ 的方程 $2x + m = 3x - 1$ 的解是 $x = 4$，则 $m$ 的值为（         ）

A. 3 B. -3 C. 5 D. -5

5. 已知 $a + b = 5$，$ab = 3$，则 $a^2 + b^2$ 的值为（         ）

A. 19 B. 22 C. 25 D. 16

6. 若 $x^2 + kx + 9$ 是一个完全平方式，则 $k$ 的值为（         ）

A. 6 B. -6 C. ±6 D. ±3

7. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle A = 50^\circ$，$\angle B = 60^\circ$，则 $\angle C$ 的外角度数为（         ）

A. 70° B. 110° C. 120° D. 130°

8. 若分式 $\frac{x-2}{x+3}$ 的值为零，则 $x$ 的值为（         ）

A. 2 B. -3 C. 2 或 -3 D. 0

9. 已知点 $P(2a-1, a+3)$ 在第二象限，则 $a$ 的取值范围是（         ）

A. $a < \frac{1}{2}$    B. $a > -3$    C. $-3 < a < \frac{1}{2}$    D. $a < -3$

10. 若 $a = 2^{-3}$，$b = (-2)^0$，$c = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2}$，则 $a$、$b$、$c$ 的大小关系是（         ）

二、填空题（每小题3分，共18分）

A. $a < b < c$ B. $b < a < c$ C. $c < b < a$ D. $a < c < b$

三、计算与化简（每小题5分，共20分）

17. 计算：$-1^{2026} + \left(\frac{1}{3}\right)^{-1} - \sqrt{16} + (\pi - 3)^0$

答：________________________________________

18. 化简：$(2x + 3)(2x - 3) - 4x(x - 1)$

答：________________________________________

19. 分解因式：$3a^3 - 12ab^2$

答：________________________________________

20. 解分式方程：$\frac{x}{x-2} - 1 = \frac{4}{x^2 - 4}$

答：________________________________________

四、解答题（每小题8分，共16分）

21. 先化简，再求值：$\left(\frac{a^2 - 9}{a^2 - 6a + 9}\right) \div \left(1 + \frac{3}{a - 3}\right)$，其中 $a = 4$。

答：________________________________________

22. 已知 $x + y = 7$，$xy = 10$，求下列各式的值：

（1）$x^2 + y^2$；

（2）$(x - y)^2$。

答：________________________________________

五、综合应用题（每小题8分，共16分）

23. 某商店购进甲、乙两种商品，甲种商品每件进价 40 元，售价 60 元；乙种商品每件进价 30 元，售价 45 元。商店计划购进两种商品共 50 件，且总进价不超过 1700 元。

（1）设购进甲种商品 $x$ 件，求 $x$ 的取值范围；

答：________________________________________

（2）若商店希望销售完这 50 件商品后获得的总利润不低于 800 元，求满足条件的进货方案共有几种。

24. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，$D$ 是 $BC$ 边上一点，$DE \perp AB$ 于点 $E$，$DF \perp AC$ 于点 $F$，且 $DE = DF$。

（1）求证：$AD$ 平分 $\angle BAC$；

（2）若 $\angle BAC = 80^\circ$，求 $\angle BDE$ 的度数。

答：________________________________________

参考答案

一、选择题（每小题3分，共30分）

评分标准：每小题3分，共30分，选对得3分，选错、多选、不选均不得分。

部分解析：

1. $a^2 \geq 0$ 恒成立，故选 C。

2. 由 $|x| = 5$ 得 $x = \pm 5$，由 $|y| = 3$ 得 $y = \pm 3$。因 $xy < 0$，$x$、$y$ 异号，故 $x + y = 5 + (-3) = 2$ 或 $x + y = -5 + 3 = -2$，选 B。

3. 选项 A 系数应为 $-\frac{2}{3}$；选项 C 不是同类项；选项 D 中 $\frac{1}{x}$ 不是整式。故选 B。

4. 将 $x = 4$ 代入得 $8 + m = 12 - 1 = 11$，故 $m = 3$，选 B。

5. $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab = 25 - 6 = 19$，选 A。

6. $x^2 + kx + 9 = x^2 + kx + 3^2$，故 $k = \pm 6$，选 C。

7. $\angle C = 180^\circ - 50^\circ - 60^\circ = 70^\circ$，外角为 $110^\circ$，选 B。

8. 分式值为零需分子为零且分母不为零，$x - 2 = 0$ 得 $x = 2$，此时 $x + 3 = 5 \neq 0$，选 A。

9. 第二象限横坐标为负、纵坐标为正，即 $2a - 1 < 0$ 且 $a + 3 > 0$，解得 $-3 < a < \frac{1}{2}$，选 C。

10. $a = \frac{1}{8}$，$b = 1$，$c = 4$，故 $a < b < c$，选 A。

二、填空题（每小题3分，共18分）

11. $-3$

12. $5$

13. $(x + 2y)(x - 2y)$

14. $9$

15. $8$

16. $-2$

评分标准：每小题3分，共18分，答案正确得满分，否则不得分。

部分解析：

11. $(-2)^3 + |-5| = -8 + 5 = -3$。

12. 由同类项定义得 $m = 3$，$n = 2$，故 $m + n = 5$。

13. 平方差公式：$x^2 - 4y^2 = (x + 2y)(x - 2y)$。

14. $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 = 3^2 = 9$。

15. 设边数为 $n$，则 $(n - 2) \times 180^\circ = 1080^\circ$，解得 $n = 8$。

16. 去分母得 $2(x + a) = 3(x - 1)$，将增根 $x = 1$ 代入得 $2(1 + a) = 0$，解得 $a = -2$。

三、计算与化简（每小题5分，共20分）

17. 解：原式 $= -1 + 3 - 4 + 1 = -1$。

评分标准：每正确化简一项得1分，最终结果正确得1分，共5分。

18. 解：原式 $= 4x^2 - 9 - 4x^2 + 4x = 4x - 9$。

评分标准：平方差公式展开正确得2分，去括号正确得2分，合并同类项正确得1分，共5分。

19. 解：原式 $= 3a(a^2 - 4b^2) = 3a(a + 2b)(a - 2b)$。

评分标准：提取公因式正确得2分，平方差公式分解正确得3分，共5分。

20. 解：方程两边同乘 $(x - 2)(x + 2)$，得

$x(x + 2) - (x^2 - 4) = 4$

$x^2 + 2x - x^2 + 4 = 4$

$2x = 0$，解得 $x = 0$。

检验：当 $x = 0$ 时，$(x - 2)(x + 2) = -4 \neq 0$，故 $x = 0$ 是原方程的解。

评分标准：去分母正确得2分，解整式方程正确得2分，检验得1分，共5分。未检验扣1分。

四、解答题（每小题8分，共16分）

21. 解：

原式 $= \frac{(a + 3)(a - 3)}{(a - 3)^2} \div \frac{a - 3 + 3}{a - 3}$

$= \frac{a + 3}{a - 3} \div \frac{a}{a - 3}$

$= \frac{a + 3}{a - 3} \times \frac{a - 3}{a} = \frac{a + 3}{a}$

当 $a = 4$ 时，原式 $= \frac{4 + 3}{4} = \frac{7}{4}$。

评分标准：分子分母因式分解正确得2分，除法转化为乘法并约分正确得3分，代入求值正确得2分，结果化简得1分，共8分。

22. 解：

（1）$x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = 7^2 - 2 \times 10 = 49 - 20 = 29$。

（2）$(x - y)^2 = (x + y)^2 - 4xy = 49 - 40 = 9$。

评分标准：每小题4分，公式运用正确得2分，计算正确得2分，共8分。

五、综合应用题（每小题8分，共16分）

23. 解：

（1）设购进甲种商品 $x$ 件，则购进乙种商品 $(50 - x)$ 件。

由题意得 $40x + 30(50 - x) \leq 1700$，即 $10x + 1500 \leq 1700$，解得 $x \leq 20$。

又 $x \geq 0$ 且 $50 - x \geq 0$，故 $0 \leq x \leq 20$，且 $x$ 为整数。

（2）总利润为 $(60 - 40)x + (45 - 30)(50 - x) = 20x + 15(50 - x) = 5x + 750$。

由题意得 $5x + 750 \geq 800$，解得 $x \geq 10$。

结合（1）得 $10 \leq x \leq 20$，$x$ 为整数，故 $x$ 可取 10，11，12，…，20，共 11 种方案。

评分标准：第（1）问列出不等式并正确求解得4分；第（2）问正确表示总利润得2分，正确求解并得出方案种数得2分，共8分。

24. 证明与解：

（1）因为 $DE \perp AB$，$DF \perp AC$，所以 $\angle AED = \angle AFD = 90^\circ$。

在 Rt$\triangle AED$ 和 Rt$\triangle AFD$ 中，

$AD = AD$（公共斜边），$DE = DF$（已知），

所以 Rt$\triangle AED \cong$ Rt$\triangle AFD$（HL），

所以 $\angle EAD = \angle FAD$，即 $AD$ 平分 $\angle BAC$。

（2）因为 $AB = AC$，所以 $\angle B = \angle C = \frac{180^\circ - 80^\circ}{2} = 50^\circ$。

因为 $DE \perp AB$，所以 $\angle BED = 90^\circ$。

在 $\triangle BDE$ 中，$\angle BDE = 180^\circ - 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ$。

评分标准：第（1）问正确说明垂直条件得1分，证明三角形全等得2分，得出结论得1分；第（2）问求出 $\angle B = 50^\circ$ 得2分，求出 $\angle BDE = 40^\circ$ 得2分，共8分。