椭圆标准方程与性质解答题

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一、解答题（共5题）

1. 已知椭圆 $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$，求椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率以及焦点坐标。

2. 求经过点 $P(0, -4)$ 和 $Q(3, 0)$ 的椭圆的标准方程。

3. 已知椭圆的焦点在 $x$ 轴上，焦距为 $8$，且椭圆经过点 $M(5, 0)$，求椭圆的标准方程。

4. 求椭圆 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{7} = 1$ 的焦点坐标和离心率，并判断点 $A(4, 0)$ 和点 $B(0, \sqrt{7})$ 是否在椭圆上。

5. 已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ($a > b > 0$) 的离心率为 $\frac{1}{2}$，且短轴长为 $2\sqrt{3}$，求椭圆的标准方程。