北师大版数学必修第二册・1 小时摸底试卷（精简版）

满分：100 分 ｜ 建议用时：60 分钟

完成时间：______________ 分钟 ｜ 得分：______________

一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知角 $\theta$ 的终边过点 $P(-3,4)$，则 $\sin\theta \cdot \cos\theta$ 的值为（         ）

A. $\frac{12}{25}$    B. $-\frac{12}{25}$    C. $\frac{16}{25}$    D. $-\frac{16}{25}$

2. 化简 $\cos 75^\circ \cos 15^\circ - \sin 75^\circ \sin 15^\circ =$（         ）

A. $0$    B. $\frac{1}{2}$    C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$    D. $1$

3. 已知向量 $\vec{a}=(m,1)$，$\vec{b}=(2,-3)$，若 $\vec{a} \parallel \vec{b}$，则实数 $m=$（         ）

A. $-\frac{2}{3}$    B. $\frac{2}{3}$    C. $-\frac{3}{2}$    D. $\frac{3}{2}$

4. 复数 $z=\frac{3+4i}{2-i}$（$i$ 为虚数单位）的虚部为（         ）

A. $1$    B. $-1$    C. $2$    D. $-2$

5. 若 $\sin\alpha=\frac{3}{5}$，$\alpha \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$，则 $\tan(\alpha+\frac{\pi}{4})=$（         ）

A. $\frac{1}{7}$    B. $7$    C. $-\frac{1}{7}$    D. $-7$

6. 在 $\triangle ABC$ 中，$a=\sqrt{3}$，$b=1$，$B=30^\circ$，则角 $A$ 的大小为（         ）

A. $60^\circ$    B. $120^\circ$    C. $60^\circ$ 或 $120^\circ$    D. $30^\circ$ 或 $150^\circ$

7. 已知圆锥的母线长为 $5$，底面半径为 $3$，则该圆锥的侧面积为（         ）

A. $12\pi$    B. $15\pi$    C. $24\pi$    D. $30\pi$

8. 将函数 $y=\sin 2x$ 的图象向右平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位长度，所得图象对应的函数解析式为（         ）

A. $y=\sin(2x-\frac{\pi}{6})$    B. $y=\sin(2x-\frac{\pi}{3})$

C. $y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})$    D. $y=\sin(2x+\frac{\pi}{6})$

二、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）

9. 已知 $\tan\alpha=2$，则 $\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}=$ ______________。

10. 已知向量 $\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(-2,1)$，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影数量为 ______________。

11. 一个圆柱的侧面展开图是长为 $4\pi$、宽为 $2$ 的矩形，则该圆柱的体积为 ______________。

三、解答题（本题共 2 小题，共 45 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

12.（22 分） 已知函数 $f(x)=2\cos^2 x + 2\sqrt{3}\sin x\cos x$。

（1）求 $f(x)$ 的最小正周期及对称轴方程；

（2）求 $f(x)$ 在区间 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 上的值域。

13.（23 分） 在四棱锥 $P-ABCD$ 中，$PA \perp$ 底面 $ABCD$，底面 $ABCD$ 为菱形，$\angle BAD=60^\circ$，$PA=AB$，$E$ 为 $PC$ 中点。

（1）求证：$PA \parallel$ 平面 $BDE$；

（2）求证：平面 $BDE \perp$ 平面 $ABCD$；

（3）求直线 $BE$ 与平面 $ABCD$ 所成角的正切值。