人教版高中数学选择性必修一 第一章 空间向量与立体几何

§1.2 空间向量基本定理 §1.3 空间向量及其运算的坐标表示

完成时间：_______ 分钟 得分：_______

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 设 $\vec{a} = (1, -2, 3)$，$\vec{b} = (2, 0, -1)$，则 $\vec{a} + \vec{b}$ 的坐标为（         ）

A. $(3, -2, 2)$    B. $(-1, -2, 4)$    C. $(3, 2, 2)$    D. $(1, -2, 4)$

2. 已知向量 $\vec{a} = (2, -1, 3)$，$\vec{b} = (-4, 2, x)$，若 $\vec{a} \parallel \vec{b}$，则实数 $x$ 的值为（         ）

A. $-6$    B. $6$    C. $-\frac{3}{2}$    D. $\frac{3}{2}$

3. 若 $\vec{a} = (1, 0, -1)$，$\vec{b} = (0, 1, 2)$，则 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的值为（         ）

A. $1$    B. $-2$    C. $2$    D. $0$

4. 已知空间向量 $\vec{a} = (1, 1, 0)$，$\vec{b} = (-1, 0, 2)$，则 $|\vec{a} - \vec{b}|$ 等于（         ）

A. $\sqrt{5}$    B. $3$    C. $\sqrt{3}$    D. $5$

5. 设 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 是空间三个不共面的向量，则下列各组向量中，不能构成空间的一个基底的是（         ）

A. $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$    B. $\vec{a} + \vec{b}, \vec{b}, \vec{c}$    C. $\vec{a}, \vec{b}, \vec{a} + \vec{b}$    D. $\vec{a} + \vec{b}, \vec{b} + \vec{c}, \vec{c} + \vec{a}$

6. 已知 $\vec{a} = (2, -1, 3)$，$\vec{b} = (-1, 4, -2)$，若 $\vec{a} \perp \vec{b}$，则实数 $k$ 的值为（         ）

A. $2$    B. $-2$    C. $-\frac{1}{2}$    D. $\frac{1}{2}$

7. 已知点 $A(1, 2, 3)$，$B(2, 1, 1)$，则向量 $\overrightarrow{AB}$ 的坐标为（         ）

A. $(1, -1, -2)$    B. $(-1, 1, 2)$    C. $(1, 3, 4)$    D. $(3, 3, 4)$

8. 已知 $\vec{a} = (1, 2, -1)$，$\vec{b} = (2, -1, 3)$，则 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})$ 的值为（         ）

A. $-8$    B. $8$    C. $-6$    D. $6$

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

9. 已知 $\vec{a} = (1, -2, 2)$，则 $|\vec{a}| =$ ______。

10. 若 $\vec{a} = (2, -1, 3)$，$\vec{b} = (-1, 2, 1)$，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ ______。

11. 已知 $\vec{a} = (1, 1, 0)$，$\vec{b} = (0, 1, 1)$，则 $\cos\langle \vec{a}, \vec{b} \rangle =$ ______。

12. 已知 $\vec{a} = (1, 2, -1)$，$\vec{b} = (2, y, 3)$，若 $\vec{a} \perp \vec{b}$，则实数 $y =$ ______。

三、解答题（本大题共3小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

13.（本小题满分12分） 已知空间三点 $A(1, 0, 1)$，$B(2, 1, 0)$，$C(0, 2, 1)$。

（1）求向量 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{AC}$ 的坐标；

（2）求 $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ 的值。

解：________________________________________________________________________

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14.（本小题满分13分） 如图，在直三棱柱 $ABC - A_1B_1C_1$ 中，$CA = CB = 1$，$\angle BCA = 90^\circ$，棱 $AA_1 = 2$，$M$ 是 $A_1B_1$ 的中点。以 $C$ 为原点，$\overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CB}, \overrightarrow{CC_1}$ 的方向分别为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴的正方向建立空间直角坐标系。

（1）求点 $M$ 的坐标；

（2）求 $|\overrightarrow{CM}|$ 的值。

解：________________________________________________________________________

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15.（本小题满分15分） 已知 $\vec{a} = (1, 1, 0)$，$\vec{b} = (-1, 0, 2)$，$\vec{c} = (2, 1, -1)$。

（1）求 $\vec{a} + \vec{b}$ 的坐标；

（2）求 $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c})$ 的值；

（3）判断 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{c}$ 是否垂直，并说明理由。

解：________________________________________________________________________

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