数学初中公开试卷

九年级上册数学综合测试卷

九年级上册数学综合测试卷（满分：100分考试时间：90分钟）完成时间：_______ 分钟得分：_______ 姓名：__________ 学号：__________ 班级：__________ 题号一二三总分分数注意事项： 1. 答题前请先填写姓名、学号和班级。 2. 请用黑色签字笔或铅笔答题。 3. 保持卷面整洁，字迹工整。 4. 考

试卷正文

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九年级上册数学综合测试卷

（满分：100分考试时间：90分钟）

完成时间：_______ 分钟得分：_______

姓名：__________ 学号：__________ 班级：__________

题号	一	二	三	总分
分数

注意事项：

1. 答题前请先填写姓名、学号和班级。

2. 请用黑色签字笔或铅笔答题。

3. 保持卷面整洁，字迹工整。

4. 考试时间90分钟，满分100分。

一、选择题（共8题，每题3分）

1. 下列函数中，是二次函数的是（______）

A. $y = 2x + 1$ B. $y = \frac{1}{x}$ C. $y = x^2 - 3x$ D. $y = \sqrt{x}$

2. 抛物线 $y = (x-1)^2 + 2$ 的顶点坐标是（______）

A. $(1,2)$ B. $(-1,2)$ C. $(1,-2)$ D. $(-1,-2)$

3. 二次函数 $y = -x^2 + 4x$ 的图象开口方向是（______）

A. 向上 B. 向下 C. 向左 D. 向右

4. 方程 $x^2 - 5x + 6 = 0$ 的两个根是（______）

A. $x_1=2, x_2=3$ B. $x_1=1, x_2=6$ C. $x_1=-2, x_2=-3$ D. $x_1=-1, x_2=-6$

5. 二次函数 $y = 2x^2$ 的图象经过点（______）

A. $(1,2)$ B. $(2,1)$ C. $(-1,-2)$ D. $(0,2)$

6. 将抛物线 $y = x^2$ 向右平移2个单位，得到的抛物线解析式为（______）

A. $y = (x+2)^2$ B. $y = (x-2)^2$ C. $y = x^2 + 2$ D. $y = x^2 - 2$

7. 二次函数 $y = x^2 - 2x - 3$ 与 $x$ 轴的交点个数是（______）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

8. 若二次函数 $y = ax^2$ 的图象经过点 $(-2, 8)$ ，则 $a$ 的值为（______）

A. 2 B. -2 C. 4 D. -4

二、填空题（共6题，每题3分）

9. 二次函数 $y = x^2 - 4$ 的对称轴是直线 ______。	10. 抛物线 $y = -(x+1)^2 + 3$ 的顶点坐标是 ______。
11. 方程 $x^2 - 9 = 0$ 的解是 ______。	12. 若 $x = 2$ 是方程 $x^2 - mx + 6 = 0$ 的一个根，则 $m =$ ______。

13. 抛物线 $y = x^2 - 2x + 1$ 与 $x$ 轴的交点坐标是 ______。

14. 二次函数 $y = x^2 - 4x + 5$ 的最小值是 ______。

三、解答题（共6题，共58分）

15.（8分） 解方程： $x^2 - 6x + 8 = 0$ 。

解：

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16.（8分） 已知二次函数 $y = x^2 - 4x + 3$ 。

（1）求该函数图象的顶点坐标；

（2）求该函数图象与 $x$ 轴的交点坐标。

解：

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17.（10分） 某商店销售一种商品，每件进价为20元。调查发现，当售价为30元时，每月可售出200件；售价每上涨1元，月销量减少10件。设售价上涨 $x$ 元，月利润为 $y$ 元。

（1）求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式；

（2）售价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？

解：

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18.（10分） 在 $\triangle ABC$ 中， $AB = AC$ ， $D$ 是 $BC$ 边上一点，且 $AD \perp BC$ 于点 $D$ 。求证： $BD = CD$ 。

证明：

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19.（10分） 在矩形 $ABCD$ 中， $E$ 是 $AD$ 的中点， $F$ 是 $BC$ 上一点，且 $BF = 2FC$ ，连接 $EF$ 交 $AC$ 于点 $G$ 。求证： $\triangle AEG \sim \triangle CFG$ 。

证明：

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20.（12分） 在 $\triangle ABC$ 中， $\angle ACB = 90^\circ$ ， $CD \perp AB$ 于点 $D$ ， $E$ 是 $AC$ 上一点，且 $DE \parallel BC$ 。

（1）求证： $\triangle CDE \sim \triangle ABC$ ；

（2）若 $AC = 6$ ， $BC = 8$ ，求 $DE$ 的长。

证明与解：

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参考答案

一、选择题

1. C 2. A 3. B 4. A 5. A 6. B 7. C 8. A

二、填空题

9. $x = 0$ （或 $y$ 轴） 10. $(-1, 3)$ 11. $x = \pm 3$ 12. $m = 5$ 13. $(1, 0)$ 14. $1$

三、解答题

15. 解： $x^2 - 6x + 8 = 0$ ，因式分解得 $(x-2)(x-4)=0$ ，所以 $x_1=2, x_2=4$ 。

16. 解：（1） $y = x^2 - 4x + 3 = (x-2)^2 - 1$ ，顶点坐标为 $(2, -1)$ 。

（2）令 $y=0$ ，得 $x^2 - 4x + 3 = 0$ ，解得 $x_1=1, x_2=3$ ，与 $x$ 轴交点坐标为 $(1,0)$ 和 $(3,0)$ 。

17. 解：（1）售价为 $(30+x)$ 元，月销量为 $(200-10x)$ 件，每件利润为 $(30+x-20)=(10+x)$ 元。

$y = (10+x)(200-10x) = -10x^2 + 100x + 2000$ 。

（2） $y = -10(x-5)^2 + 2250$ ，当 $x=5$ 时， $y$ 取最大值2250。售价为 $30+5=35$ 元，最大月利润为2250元。

18. 证明： $\because AB = AC$ ， $\therefore \triangle ABC$ 是等腰三角形。

$\because AD \perp BC$ ， $\therefore AD$ 是底边 $BC$ 上的高。

在等腰三角形中，底边上的高也是底边上的中线， $\therefore BD = CD$ 。

19. 证明： $\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形， $\therefore AD \parallel BC$ 。

$\because E$ 是 $AD$ 中点， $\therefore AE = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}BC$ 。

$\because BF = 2FC$ ， $\therefore FC = \frac{1}{3}BC$ 。

$\because AD \parallel BC$ ， $\therefore \angle AEG = \angle CFG$ ， $\angle EAG = \angle FCG$ 。

$\therefore \triangle AEG \sim \triangle CFG$ （两角对应相等）。

20. 解：（1） $\because CD \perp AB$ ， $\therefore \angle CDB = 90^\circ$ 。

$\because DE \parallel BC$ ， $\therefore \angle CDE = \angle DCB$ 。

$\because \angle ACB = 90^\circ$ ， $\therefore \angle A + \angle B = 90^\circ$ 。

$\because \angle DCB + \angle B = 90^\circ$ ， $\therefore \angle A = \angle DCB = \angle CDE$ 。

又 $\angle ACB = \angle CED = 90^\circ$ ， $\therefore \triangle CDE \sim \triangle ABC$ 。

（2）在 $\triangle ABC$ 中， $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{36+64} = 10$ 。

由面积法： $CD = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{6 \times 8}{10} = 4.8$ 。

$\because \triangle CDE \sim \triangle ABC$ ， $\therefore \frac{DE}{BC} = \frac{CD}{AB}$ ，即 $\frac{DE}{8} = \frac{4.8}{10}$ ，解得 $DE = 3.84$ 。

评分标准

一、选择题：每题3分，共24分。

二、填空题：每题3分，共18分。

三、解答题：15题8分，16题8分，17题10分，18题10分，19题10分，20题12分，共58分。

具体评分细则：

15题：正确因式分解得4分，正确写出两个根得4分。

16题：（1）正确配方得4分，正确写出顶点坐标得4分；（2）正确列方程得2分，正确写出交点坐标得2分。

17题：（1）正确列出函数解析式得5分；（2）正确求出最大值得3分，正确写出定价得2分。

18题：正确说明等腰三角形得3分，正确说明高线也是中线得4分，正确写出结论得3分。

19题：正确说明平行关系得3分，正确找出两组对应角相等得5分，正确写出相似结论得2分。

20题：（1）正确证明相似得6分；（2）正确求出AB得2分，正确求出CD得2分，正确求出DE得2分。