初二物理上册·机械运动计算提升训练

完成时间：_______ 分钟 得分：_______

一、计算题（共2题，每题15分，共30分）

要求：写出必要的文字说明、公式和演算步骤，只写最后结果不得分。

1. 甲、乙两地相距 $s = 36\ \mathrm{km}$。一辆汽车从甲地开往乙地，全程平均速度要求为 $v = 54\ \mathrm{km/h}$。汽车出发后以 $v_1 = 72\ \mathrm{km/h}$ 的速度行驶了 $t_1 = 20\ \mathrm{min}$，随后因故在途中某处停留了 $t_0 = 6\ \mathrm{min}$。为了仍能按原定平均速度准点到达乙地，汽车在余下的路程中必须以多大的速度 $v_2$ 行驶？

答：

2. 一条平直公路上，甲、乙两车同向行驶。甲车在前，以 $v_\text{甲} = 15\ \mathrm{m/s}$ 的速度匀速行驶；乙车在后，以 $v_\text{乙} = 25\ \mathrm{m/s}$ 的速度匀速追赶。当两车相距 $d_0 = 200\ \mathrm{m}$ 时，甲车司机发现后方的乙车，立即以 $a = 0.5\ \mathrm{m/s^2}$ 的加速度匀加速行驶（加速过程中加速度保持不变，且加速时间足够长）。

（1）从甲车开始加速时起，经过多长时间乙车追上甲车？

（2）在乙车追上甲车之前，两车之间的最大距离是多少？

答：

参考答案

第1题

全程所需总时间：

$$t = \frac{s}{v} = \frac{36\ \mathrm{km}}{54\ \mathrm{km/h}} = \frac{2}{3}\ \mathrm{h} = 40\ \mathrm{min}$$

汽车已行驶的时间 $t_1 = 20\ \mathrm{min} = \frac{1}{3}\ \mathrm{h}$，已行驶的路程：

$$s_1 = v_1 t_1 = 72 \times \frac{1}{3} = 24\ \mathrm{km}$$

剩余路程：

$$s_2 = s - s_1 = 36 - 24 = 12\ \mathrm{km}$$

剩余可用时间（扣除停留时间 $t_0 = 6\ \mathrm{min} = 0.1\ \mathrm{h}$）：

$$t_2 = t - t_1 - t_0 = 40 - 20 - 6 = 14\ \mathrm{min} = \frac{7}{30}\ \mathrm{h}$$

余下路程所需速度：

$$v_2 = \frac{s_2}{t_2} = \frac{12}{7/30} = \frac{360}{7} \approx 51.4\ \mathrm{km/h}$$

答：汽车在余下路程中必须以约 $51.4\ \mathrm{km/h}$ 的速度行驶。

第2题

（1）设从甲车开始加速起经过时间 $t$ 乙车追上甲车。以甲车开始加速的位置为参考，甲车做匀加速运动，乙车做匀速运动，追上时两车位移满足：

$$v_\text{乙} t = d_0 + v_\text{甲} t + \frac{1}{2} a t^2$$

代入数据：

$$25t = 200 + 15t + \frac{1}{2} \times 0.5 \times t^2$$

整理得：

$$0.25t^2 - 10t + 200 = 0$$

即：

$$t^2 - 40t + 800 = 0$$

判别式：

$$\Delta = (-40)^2 - 4 \times 1 \times 800 = 1600 - 3200 = -1600 < 0$$

方程无实数解，说明甲车加速后速度不断增大，乙车始终追不上甲车。

检验：甲车加速到 $25\ \mathrm{m/s}$ 所需时间：

$$t' = \frac{v_\text{乙} - v_\text{甲}}{a} = \frac{25 - 15}{0.5} = 20\ \mathrm{s}$$

此时甲车位移：

$$s_\text{乙} = v_\text{乙} t' = 25 \times 20 = 500\ \mathrm{m}$$

$$s_\text{甲} = v_\text{甲} t' + \frac{1}{2} a t'^2 = 15 \times 20 + \frac{1}{2} \times 0.5 \times 400 = 300 + 100 = 400\ \mathrm{m}$$

乙车位移：

两车初始相距 $200\ \mathrm{m}$，此时乙车相对甲车还差：

$$200 + 400 - 500 = 100\ \mathrm{m}$$

此后甲车速度大于乙车，两车距离继续增大，故乙车永远追不上甲车。

答：乙车追不上甲车，不存在追上所用的时间。

（2）两车距离最大的时刻，即两车速度相等的时刻。设从甲车开始加速起经过时间 $t_m$ 两车速度相等：

$$v_\text{甲} + a t_m = v_\text{乙}$$

$$15 + 0.5 t_m = 25$$

$$t_m = 20\ \mathrm{s}$$

此时甲车位移：

$$s_\text{甲} = 15 \times 20 + \frac{1}{2} \times 0.5 \times 20^2 = 300 + 100 = 400\ \mathrm{m}$$

乙车位移：

$$s_\text{乙} = 25 \times 20 = 500\ \mathrm{m}$$

两车最大距离：

$$\Delta s_\text{max} = d_0 + s_\text{甲} - s_\text{乙} = 200 + 400 - 500 = 100\ \mathrm{m}$$

答：在乙车追上甲车之前，两车之间的最大距离是 $100\ \mathrm{m}$。