必修第二册综合测试卷

（考查范围：第五章三角函数 · 第六章平面向量及其应用 · 第七章复数 · 第八章立体几何初步）

完成时间：_______ 分钟 得分：_______

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1. 已知 $\sin\alpha = \frac{3}{5}$，且 $\alpha \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$，则 $\cos\alpha$ 的值为（         ）

A. $\frac{4}{5}$    B. $-\frac{4}{5}$    C. $\frac{3}{4}$    D. $-\frac{3}{4}$

2. 将函数 $y = \sin 2x$ 的图象向左平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位长度，所得图象对应的函数解析式为（         ）

A. $y = \sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)$    B. $y = \sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)$    C. $y = \sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$    D. $y = \cos 2x$

3. 在 $\triangle ABC$ 中，$\overrightarrow{AB} = \vec{a}$，$\overrightarrow{AC} = \vec{b}$，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$，$|\vec{a}| = 3$，$|\vec{b}| = 4$，则 $BC$ 边上的中线长为（         ）

A. $\frac{5}{2}$    B. $5$    C. $\frac{\sqrt{73}}{2}$    D. $\frac{7}{2}$

4. 已知复数 $z = \frac{2+i}{1-i}$，则 $|z|$ 的值为（         ）

A. $\frac{\sqrt{10}}{2}$    B. $\frac{\sqrt{5}}{2}$    C. $\sqrt{5}$    D. $\frac{5}{2}$

5. 已知 $\cos\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \frac{3}{5}$，$\alpha \in \left(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right)$，则 $\sin\alpha$ 的值为（         ）

A. $\frac{\sqrt{2}}{10}$    B. $\frac{7\sqrt{2}}{10}$    C. $-\frac{\sqrt{2}}{10}$    D. $-\frac{7\sqrt{2}}{10}$

6. 在 $\triangle ABC$ 中，内角 $A$, $B$, $C$ 所对的边分别为 $a$, $b$, $c$。若 $a = 2$，$b = 3$，$C = \frac{\pi}{3}$，则 $\triangle ABC$ 的面积为（         ）

A. $\frac{3\sqrt{3}}{2}$    B. $3\sqrt{3}$    C. $\frac{3}{2}$    D. $3$

7. 若正四面体 $ABCD$ 的棱长为 $a$，则其外接球的半径为（         ）

A. $\frac{\sqrt{6}}{4}a$    B. $\frac{\sqrt{6}}{3}a$    C. $\frac{\sqrt{3}}{3}a$    D. $\frac{\sqrt{3}}{4}a$

8. 已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$，$\vec{b} = (x, -1)$，若 $(\vec{a} + \vec{b}) \perp (\vec{a} - \vec{b})$，则实数 $x$ 的值为（         ）

A. $\pm 2$    B. $\pm 1$    C. $\pm \sqrt{3}$    D. $\pm 3$

二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。）

9. 已知函数 $f(x) = \sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$，则下列说法正确的是（         ）

A. 函数 $f(x)$ 的最小正周期为 $\pi$

B. 函数 $f(x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{5\pi}{12}$ 对称

C. 函数 $f(x)$ 在区间 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上单调递增

D. 函数 $f(x)$ 的图象关于点 $\left(\frac{\pi}{6}, 0\right)$ 中心对称

10. 已知正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的棱长为 $2$，$E$, $F$ 分别是 $BB_1$, $DD_1$ 的中点，则下列结论正确的是（         ）

A. $AE \parallel C_1F$

B. $AE \perp B_1D_1$

C. 三棱锥 $A-EFC_1$ 的体积为 $\frac{4}{3}$

D. 异面直线 $AE$ 与 $CD_1$ 所成角的余弦值为 $\frac{1}{3}$

11. 在 $\triangle ABC$ 中，$\overrightarrow{AB} = \vec{c}$，$\overrightarrow{BC} = \vec{a}$，$\overrightarrow{CA} = \vec{b}$，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a}$，则下列说法正确的是（         ）

A. $\triangle ABC$ 为等边三角形

B. $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}|$

C. 若 $|\vec{a}| = 2$，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = -2$

D. $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$

三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。）

12. 若 $(1 - 2i)z = 3 + 4i$（$i$ 为虚数单位），则复数 $z$ 的共轭复数 $\overline{z}$ 的虚部为______。

13. 已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$，$\vec{b} = (3, -4)$，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 方向上的投影的数量为______。

14. 已知函数 $f(x) = A\sin(\omega x + \varphi)$（$A > 0$, $\omega > 0$, $|\varphi| < \frac{\pi}{2}$）的部分图象如图（文字描述：图象最高点为 $(2, 2)$，相邻零点为 $(6, 0)$），则 $f(8)$ 的值为______。

四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）

15.（本题满分13分）

已知 $\tan\alpha = 2$。

（1）求 $\frac{\sin\alpha + \cos\alpha}{2\sin\alpha - \cos\alpha}$ 的值；（6分）

（2）求 $\sin 2\alpha - \cos 2\alpha$ 的值。（7分）

答：___________________________________________________________________________

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16.（本题满分15分）

已知函数 $f(x) = \sqrt{3}\sin 2x - 2\sin^2 x$。

（1）求函数 $f(x)$ 的最小正周期及对称中心；（7分）

（2）求函数 $f(x)$ 在区间 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的最大值与最小值。（8分）

答：___________________________________________________________________________

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17.（本题满分15分）

在 $\triangle ABC$ 中，内角 $A$, $B$, $C$ 所对的边分别为 $a$, $b$, $c$，且 $\frac{b\cos C + c\cos B}{a} = \cos A + \sqrt{3}\sin A$。

（1）求角 $A$ 的大小；（7分）

（2）若 $a = 2$，求 $\triangle ABC$ 面积的最大值。（8分）

答：___________________________________________________________________________

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18.（本题满分17分）

如图，在三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中，$AA_1 \perp$ 平面 $ABC$，$AB = AC = 2$，$\angle BAC = 90^\circ$，$E$ 为 $BC$ 的中点，$D$ 为 $BB_1$ 上的点，且 $BD = \frac{1}{2}BB_1$。

（1）求证：$AD \perp A_1C$；（8分）

（2）若 $AA_1 = 2$，求点 $C_1$ 到平面 $ADE$ 的距离。（9分）

答：___________________________________________________________________________

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19.（本题满分17分）

已知函数 $f(x) = \sin\left(\omega x + \frac{\pi}{6}\right) + \sin\left(\omega x - \frac{\pi}{6}\right) + 2\cos^2\frac{\omega x}{2}$，其中 $\omega > 0$，且函数 $f(x)$ 相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{\pi}{2}$。

（1）求 $\omega$ 的值及函数 $f(x)$ 在区间 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的值域；（8分）

（2）在 $\triangle ABC$ 中，内角 $A$, $B$, $C$ 所对的边分别为 $a$, $b$, $c$，且 $f(A) = 3$，$b + c = 3$，求 $a$ 的最小值。（9分）

答：___________________________________________________________________________

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