高中数学专题练习：基本初等函数

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一、二次函数

1. 已知二次函数 $y = x^2 - 2x - 3$。

（1）求该函数图像的对称轴与顶点坐标；

（2）求该函数在区间 $[0,4]$ 上的最大值与最小值。

2. 已知函数 $f(x) = ax^2 - 2x + 1$，对任意 $x \in [1,2]$，$f(x) > 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围。

二、幂函数

1. 已知幂函数 $f(x) = x^{m^2 - 2m - 2}$ 的图像过点 $\left(2, \dfrac{1}{2}\right)$，求 $f(x)$ 的解析式，并判断 $f(x)$ 的奇偶性与单调性。

2. 已知幂函数 $f(x) = x^{\alpha}$，满足对任意 $x_1, x_2 \in (0, +\infty)$，$\dfrac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2} > 0$；且 $f(2) > f(3)$。

（1）求 $\alpha$ 的取值范围；

（2）比较大小：$f\left(1.1^{0.9}\right)$ 与 $f\left(0.9^{1.1}\right)$。

三、指数函数

1. 已知函数 $y = a^{x-2} + 1$（$a > 0$，$a \neq 1$），求该函数恒过的定点；并比较 $1.2^{0.3}$ 与 $1.2^{0.5}$ 的大小。

2. 已知函数 $f(x) = 4^x - 2^{x+1}$，$x \in [-1, 2]$。

（1）求 $f(x)$ 的值域；

（2）若方程 $4^x - 2^{x+1} = m$ 有两个不同实根，求 $m$ 的取值范围。

四、对数函数

1. 求函数 $f(x) = \log_2(x-1)$ 的定义域；并计算 $\log_3 18 - \log_3 2$。

2. 已知函数 $f(x) = \log_a\left(ax^2 - 2x + 3\right)$（$a > 0$，$a \neq 1$）。

（1）若 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb{R}$，求 $a$ 的取值范围；

（2）若 $f(x)$ 的值域为 $\mathbb{R}$，求 $a$ 的取值范围。