分式方程单元测试卷

姓名：__________ 班级：__________ 得分：__________

完成时间：_______ 分钟

（满分 100 分，考试时间 90 分钟）

一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。每小题只有一个正确选项）

1. 下列方程中，是分式方程的是（ ）

A. $\frac{x}{2} + 1 = 3$　　B. $\frac{2}{x} = 5$　　C. $x^2 - 1 = 0$　　D. $2x + 3 = 7$

2. 分式方程 $\frac{2}{x-3} = 1$ 的解是（         ）

A. $x = 5$　　B. $x = 3$　　C. $x = 1$　　D. $x = -1$

3. 解分式方程 $\frac{1}{x-1} = \frac{2}{x}$ 时，去分母后得到的整式方程是（         ）

A. $x = 2(x-1)$　　B. $2x = x-1$　　C. $x = 2x - 2$　　D. $x + 1 = 2x$

4. 若 $x = 2$ 是分式方程 $\frac{a}{x} = 1$ 的解，则 $a$ 的值为（         ）

A. $1$　　B. $2$　　C. $\frac{1}{2}$　　D. $4$

5. 分式方程 $\frac{3}{x} - \frac{2}{x+1} = 0$ 的解是（         ）

A. $x = 3$　　B. $x = -3$　　C. $x = 2$　　D. $x = -2$

6. 下列说法正确的是（ ）

A. 分式方程的解一定是整数 B. 分式方程一定有解 C. 解分式方程可能产生增根 D. 分式方程去分母后一定是方程的解

7. 若关于 $x$ 的方程 $\frac{x}{x-2} = 2 + \frac{m}{x-2}$ 有增根，则增根是（         ）

A. $x = 2$　　B. $x = -2$　　C. $x = 0$　　D. $x = 1$

8. 某工程队修一条 1200 米的公路，实际每天比原计划多修 20 米，结果提前 2 天完成任务。设原计划每天修 $x$ 米，则所列方程为（         ）

A. $\frac{1200}{x} - \frac{1200}{x+20} = 2$　　B. $\frac{1200}{x+20} - \frac{1200}{x} = 2$　　C. $\frac{1200}{x} - \frac{1200}{x-20} = 2$　　D. $\frac{1200}{x} + \frac{1200}{x+20} = 2$

二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）

三、解下列分式方程（本大题共 4 小题，每小题 8 分，共 32 分）

15. 解方程：$\frac{3}{x} = \frac{2}{x+1}$

解：

16. 解方程：$\frac{2}{x-1} = \frac{4}{x^2 - 1}$

解：

17. 解方程：$\frac{x}{x-2} + \frac{2}{x} = 1$

解：

18. 解方程：$\frac{1}{x+2} + \frac{3}{x-2} = \frac{4}{x^2 - 4}$

解：

四、列分式方程解应用题（本大题共 2 小题，每小题 10 分，共 20 分）

19. 某工厂现在平均每天比原计划多生产 50 台机器，现在生产 600 台机器所需时间与原计划生产 450 台机器所需时间相同。求现在平均每天生产多少台机器？

解：设现在平均每天生产 $x$ 台机器。

20. 甲、乙两地相距 180 千米，一辆汽车从甲地开往乙地，按原计划匀速行驶 3 小时后，因天气原因速度每小时比原计划减少 10 千米，结果比原计划晚到 1 小时。求原计划的速度。

解：设原计划速度为 $v$ 千米/时。

分式方程单元测试卷（参考答案）

一、选择题（每小题 3 分，共 24 分）

二、填空题（每小题 4 分，共 24 分）

9. $x = \frac{1}{2}$

10. $x \neq 3$

11. $x = 3$

12. $x = 5$

13. $x = 2$

14. $a = 3$

三、解下列分式方程（每小题 8 分，共 32 分）

15. 解：方程两边同乘 $x(x+1)$，得

$3(x+1) = 2x$

$3x + 3 = 2x$

$x = -3$

检验：当 $x = -3$ 时，$x(x+1) = (-3) \times (-2) = 6 \neq 0$。

所以，原方程的解是 $x = -3$。

16. 解：因为 $x^2 - 1 = (x+1)(x-1)$，方程两边同乘 $(x+1)(x-1)$，得

$2(x+1) = 4$

$2x + 2 = 4$

$x = 1$

检验：当 $x = 1$ 时，$(x+1)(x-1) = 0$，所以 $x = 1$ 是增根。

所以，原方程无解。

17. 解：方程两边同乘 $x(x-2)$，得

$x \cdot x + 2(x-2) = x(x-2)$

$x^2 + 2x - 4 = x^2 - 2x$

$4x = 4$

$x = 1$

检验：当 $x = 1$ 时，$x(x-2) = 1 \times (-1) = -1 \neq 0$。

所以，原方程的解是 $x = 1$。

18. 解：因为 $x^2 - 4 = (x+2)(x-2)$，方程两边同乘 $(x+2)(x-2)$，得

$(x-2) + 3(x+2) = 4$

$x - 2 + 3x + 6 = 4$

$4x + 4 = 4$

$x = 0$

检验：当 $x = 0$ 时，$(x+2)(x-2) = 2 \times (-2) = -4 \neq 0$。

所以，原方程的解是 $x = 0$。

四、列分式方程解应用题（每小题 10 分，共 20 分）

19. 解：设现在平均每天生产 $x$ 台机器，则原计划每天生产 $(x-50)$ 台。

根据题意，得：$\frac{600}{x} = \frac{450}{x-50}$

方程两边同乘 $x(x-50)$，得：$600(x-50) = 450x$

$600x - 30000 = 450x$

$150x = 30000$

$x = 200$

检验：当 $x = 200$ 时，$x(x-50) = 200 \times 150 = 30000 \neq 0$。

答：现在平均每天生产 200 台机器。

20. 解：设原计划速度为 $v$ 千米/时，则实际减速后速度为 $(v-10)$ 千米/时。

减速后行驶的路程为 $(180 - 3v)$ 千米。

实际用时为 $3 + \frac{180-3v}{v-10}$ 小时，原计划用时为 $\frac{180}{v}$ 小时。

根据题意，得：$3 + \frac{180-3v}{v-10} = \frac{180}{v} + 1$

即：$\frac{180-3v}{v-10} = \frac{180}{v} - 2$

方程两边同乘 $v(v-10)$，得：$v(180-3v) = 180(v-10) - 2v(v-10)$

$180v - 3v^2 = 180v - 1800 - 2v^2 + 20v$

整理得：$-3v^2 = -2v^2 + 20v - 1800$

移项得：$v^2 + 20v - 1800 = 0$

因式分解得：$(v - 30)(v + 60) = 0$

所以 $v = 30$ 或 $v = -60$（舍去）。

检验：当 $v = 30$ 时，$v - 10 = 20 \neq 0$，且 $v \neq 0$，符合题意。

答：原计划的速度为 30 千米/时。