高一数学集合与不等式测试卷

完成时间：________ 分钟 得分：________

总分：150分 难度：中等

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1. 已知集合 $A=\{x \mid 0 < x \le 3\}$，$B=\{-1, 0, 1, 2\}$，则 $A \cap B =$（         ）

A. $\{-1, 0\}$    B. $\{0, 1\}$    C. $\{1, 2\}$    D. $\{-1, 1, 2\}$

2. 已知全集 $U=\{x \in \mathbb{Z} \mid -2 \le x \le 3\}$，$A=\{x \in \mathbb{N} \mid x \le 3\}$，则 $\complement_U A =$（         ）

A. $\{-2, -1, 0\}$    B. $\{-2, -1\}$    C. $\{0, 1, 2, 3\}$    D. $\{-2, -1, 0, 1\}$

3. 命题“$\exists x \in \mathbb{R}$，$x^2 + 2x + 3 \le 0$”的否定是（         ）

A. $\forall x \in \mathbb{R}$，$x^2 + 2x + 3 > 0$    B. $\forall x \in \mathbb{R}$，$x^2 + 2x + 3 \le 0$

C. $\exists x \in \mathbb{R}$，$x^2 + 2x + 3 > 0$    D. $\forall x \in \mathbb{R}$，$x^2 + 2x + 3 < 0$

4. 设 $x \in \mathbb{R}$，则“$x > 1$”是“$x^2 > 1$”的（         ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

5. 不等式 $x^2 - 3x - 4 \le 0$ 的解集为（         ）

A. $\{x \mid -1 \le x \le 4\}$    B. $\{x \mid x \le -1 \text{ 或 } x \ge 4\}$

C. $\{x \mid -4 \le x \le 1\}$    D. $\{x \mid x \le -4 \text{ 或 } x \ge 1\}$

6. 已知 $x > 0$，则 $x + \frac{4}{x}$ 的最小值为（         ）

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

7. 已知集合 $A=\{1, 3, a^2\}$，$B=\{1, a+2\}$，若 $A \cap B = B$，则实数 $a$ 的取值集合为（         ）

A. $\{-1, 2\}$    B. $\{-1, 1, 2\}$    C. $\{-1, 2\}$    D. $\{2\}$

8. 命题“$\forall x > 0$，$\sqrt{x} < x$”的否定是（         ）

A. $\exists x > 0$，$\sqrt{x} \ge x$    B. $\forall x \le 0$，$\sqrt{x} \ge x$

C. $\exists x \le 0$，$\sqrt{x} \ge x$    D. $\forall x > 0$，$\sqrt{x} \ge x$

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）

9. 下列关系正确的是（ ）

A. $1 \in \mathbb{R}$    B. $\varnothing \in \{0\}$    C. $\varnothing \subseteq \{\varnothing\}$    D. $\{0\} \subseteq \mathbb{N}$

10. 已知实数 $a$，$b$，$c$ 满足 $a > b > 0 > c$，则下列不等式成立的是（         ）

A. $ac < bc$    B. $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$    C. $a - c > b - c$    D. $ac^2 > bc^2$

11. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - 4x + m = 0$ 有两个不相等的实数根，则实数 $m$ 的取值可能为（         ）

A. $m = -1$    B. $m = 3$    C. $m = 4$    D. $m = 6$

12. 设 $x > 0$，$y > 0$，且 $x + 2y = 4$，则下列结论正确的是（ ）

A. $xy$ 的最大值为 2    B. $xy$ 的最大值为 $\frac{1}{2}$

C. $x^2 + 4y^2$ 的最小值为 8    D. $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为 $\frac{3}{2}$

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）

13. 设全集 $U=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$，$A=\{1, 2, 5\}$，$B=\{2, 4, 6\}$，则 $(\complement_U A) \cup B =$______。

14. 函数 $f(x) = \frac{\sqrt{x+2}}{x-1}$ 的定义域为______（用区间表示）。

15. 不等式 $\frac{2x - 1}{x + 3} \le 1$ 的解集为______。

16. 已知 $x > 0$，$y > 0$，且 $x + y = 6$，则 $xy$ 的最大值为______；当 $xy$ 取最大值时，$x$ 的值为______。

四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17.（本小题满分10分）

已知全集 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$，$A = \{1, 3, 5, 7\}$，$B = \{2, 3, 6, 7\}$。

求：（1）$A \cup B$；（2）$\complement_U (A \cup B)$；（3）$(\complement_U A) \cap B$。

18.（本小题满分12分）

已知集合 $A = \{x \mid x^2 - 5x + 6 < 0\}$，$B = \{x \mid x^2 - 2x - 8 > 0\}$，$C = \{x \mid x^2 + ax + b < 0\}$。

（1）求 $A \cup B$ 和 $A \cap B$；

（2）若集合 $A \cup C = A$，求实数 $a$ 的取值范围。

19.（本小题满分12分）

已知 $p$：实数 $x$ 满足 $x^2 - 3x - 4 \le 0$，$q$：实数 $x$ 满足 $x^2 - 2mx + m^2 - 1 \le 0$。

（1）若 $m = 2$，求命题 $q$ 对应的集合；

（2）若 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，求实数 $m$ 的取值范围。

20.（本小题满分12分）

已知函数 $f(x) = x^2 - (a+1)x + a$。

（1）若 $f(x) \le 0$ 的解集为 $[1, 3]$，求实数 $a$ 的值；

（2）若 $x > 1$，求 $g(x) = \frac{x^2 - x + 4}{x - 1}$ 的最小值。

21.（本小题满分12分）

某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为 $200\ \text{m}^2$ 的三级污水处理池。由于地形限制，长、宽都不能超过 $16\ \text{m}$。如果池外周壁建造单价为每米 400 元，中间两条隔墙建造单价为每米 248 元，池底建造单价为每平方米 80 元（池壁厚度忽略不计）。

（1）试写出总造价 $y$（单位：元）关于污水处理池长 $x$（单位：m）的函数解析式；

（2）问污水处理池的长、宽各为多少时，总造价最低？并求出最低总造价。

22.（本小题满分12分）

设集合 $A = \{x \mid x^2 + 2mx + m^2 - 1 = 0\}$，$B = \{x \mid x^2 - 3x + 2 = 0\}$。

（1）当 $m = 0$ 时，求集合 $A$，并判断 $A$ 与 $B$ 的关系；

（2）若 $A \cap B = \varnothing$，求实数 $m$ 的取值范围；

（3）若 $A \subseteq B$，求实数 $m$ 的取值集合。