贵州贵阳初中中考数学试题

（满分：150分 考试时间：120分钟）

完成时间：_______ 分钟 得分：_______

姓名：__________ 学号：__________ 班级：__________

注意事项：

1. 答题前请先填写姓名、学号和班级。

2. 本试卷共三大题，满分150分，考试时间120分钟。

3. 请用黑色签字笔在规定的区域内作答，保持卷面整洁。

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。每小题只有一个正确选项）

1. 2026 的相反数是（　　）

A. 2026　　B. -2026　　C. $\frac{1}{2026}$　　D. $-\frac{1}{2026}$

2. 据报道，截至2025年，贵州省高速公路通车里程约为8000公里。数据8000用科学记数法表示为（　　）

A. $8 \times 10^3$　　B. $80 \times 10^2$　　C. $0.8 \times 10^4$　　D. $8 \times 10^4$

3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A. 正三角形　　B. 平行四边形　　C. 圆　　D. 等腰梯形

4. 下列运算正确的是（　　）

A. $a^2 \cdot a^3 = a^6$　　B. $(a^2)^3 = a^5$　　C. $a^6 \div a^2 = a^3$　　D. $(ab)^2 = a^2 b^2$

5. 一元二次方程 $x^2 - 2x = 0$ 的解是（　　）

A. $x = 0$　　B. $x = 2$　　C. $x_1 = 0, x_2 = 2$　　D. $x_1 = 0, x_2 = -2$

6. 某班5名同学在一次数学测试中的成绩（单位：分）为：85，90，88，92，85，则这组数据的众数和中位数分别是（　　）

A. 85，88　　B. 88，85　　C. 85，85　　D. 90，88

7. 将一次函数 $y = 2x - 1$ 的图象向上平移 3 个单位长度后，所得图象对应的函数表达式为（　　）

A. $y = 2x + 2$　　B. $y = 2x - 4$　　C. $y = 2x + 3$　　D. $y = 2x - 3$

8. 在 $\triangle ABC$ 中，$\angle B = 40^\circ$，$\angle C = 60^\circ$，$AD$ 是 $\angle A$ 的平分线，则 $\angle ADC$ 的度数为（　　）

A. $70^\circ$　　B. $80^\circ$　　C. $90^\circ$　　D. $100^\circ$

9. 二次函数 $y = -(x - 1)^2 + 2$ 的图象的顶点坐标是（　　）

A. $(1, 2)$　　B. $(-1, 2)$　　C. $(1, -2)$　　D. $(-1, -2)$

10. 在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^\circ$，$AC = BC = 4$，$D$ 是 $AB$ 的中点，以点 $C$ 为圆心、2 为半径作圆，点 $P$ 是圆 $C$ 上一动点，连接 $PD$，则 $PD$ 的最小值为（　　）

A. $2\sqrt{2} - 2$　　B. $2\sqrt{2} + 2$　　C. $2\sqrt{2}$　　D. 2

11. 已知点 $P(-2, 3)$ 关于原点对称的点的坐标是（　　）

A. $(-2, -3)$　　B. $(2, -3)$　　C. $(2, 3)$　　D. $(-3, -2)$

12. 某商品原价100元，连续两次降价10%后，售价为（　　）

A. 80元　　B. 81元　　C. 90元　　D. 99元

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

13. 因式分解：$x^2 - 9 =$ ____________。

14. 从分别写有数字 1，2，3，4，5 的五张卡片中随机抽取一张，抽到偶数的概率是____________。

15. 若二次根式 $\sqrt{x - 2}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是____________。

16. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 + 4x + k = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $k$ 的取值范围是____________。

三、解答题（本大题共10小题，共98分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（8分）计算：$|-3| - (\pi - 1)^0 + \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} - \sqrt{9}$。

18.（8分）先化简，再求值：$\left(1 - \frac{1}{x+1}\right) \div \frac{x}{x^2 - 1}$，其中 $x = \sqrt{2} - 1$。

19.（8分）解不等式组：$\begin{cases} x + 2 \ge 1, \\ 2(x - 1) < x + 3. \end{cases}$

20.（10分）在平行四边形 $ABCD$ 中，$E$、$F$ 分别是边 $AB$、$CD$ 的中点。求证：四边形 $AECF$ 是平行四边形。

21.（10分）某校为了解九年级学生“一分钟跳绳”的成绩情况，随机抽取了部分学生进行测试，并根据测试成绩绘制了如下统计表（不完整）：

（1）（4分）本次共抽取了多少名学生？

（2）（6分）已知该年级共有 300 名学生，请估计该年级“一分钟跳绳”成绩在 165≤x<185 范围内的学生人数。

22.（10分）甲、乙两人从同一地点出发，沿同一路线前往距离 20 km 的某地。甲先出发，乙后出发。已知甲的速度为 4 km/h，乙的速度为 6 km/h，乙比甲晚出发 1 h。设乙出发后用时 $t$ h 追上甲。

（1）（5分）求 $t$ 的值；

（2）（5分）追上时距出发地多远？

23.（12分）$AB$ 是 $\odot O$ 的直径，点 $C$ 在 $\odot O$ 上，过点 $C$ 的切线与 $AB$ 的延长线交于点 $D$，连接 $AC$、$BC$。已知 $\angle ABC = 30^\circ$。

（1）（4分）求证：$\triangle ABC$ 是直角三角形；

（2）（8分）若 $AB = 4$，求 $CD$ 的长。

24.（12分）抛物线 $y = ax^2 + bx + c$ 与 $x$ 轴交于 $A(-1, 0)$、$B(3, 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C(0, 3)$。

（1）（5分）求抛物线的解析式；

（2）（7分）点 $P$ 是抛物线对称轴上的一个动点，当 $PA + PC$ 的值最小时，求点 $P$ 的坐标。

25.（15分）已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - (3k+1)x + 2k^2 + 2k = 0$。

（1）（5分）求证：无论 $k$ 取何实数，方程总有实数根；

（2）（10分）若等腰 $\triangle ABC$ 的一边长 $a = 4$，另两边长 $b、c$ 恰好是这个方程的两个根，求 $\triangle ABC$ 的周长。

26.（5分）解方程：$x^2 - 4x + 3 = 0$。

参考答案

一、选择题（每小题3分，共36分）

1. B

2. A

3. C

4. D

5. C

6. A

7. A

8. B

9. A

10. A

11. B

12. B

二、填空题（每小题4分，共16分）

13. $(x + 3)(x - 3)$

14. $\frac{2}{5}$

15. $x \ge 2$

16. $k < 4$

三、解答题（共98分）

17. 解：原式 $= 3 - 1 + 2 - 3 = 1$。

评分标准：绝对值、零指数幂、负整数指数幂、算术平方根各1分，结果正确4分，共8分。

18. 解：原式 $= \frac{x}{x+1} \cdot \frac{(x-1)(x+1)}{x} = x - 1$。当 $x = \sqrt{2} - 1$ 时，原式 $= \sqrt{2} - 2$。

评分标准：因式分解与约分4分，化简正确2分，代入求值2分，共8分。

19. 解：由 $x + 2 \ge 1$ 得 $x \ge -1$；由 $2(x - 1) < x + 3$ 得 $x < 5$。所以不等式组的解集为 $-1 \le x < 5$。

评分标准：每个不等式解对得2分，综合解集正确4分，共8分。

20. 证明：$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，$\therefore AB = CD$，$AB \parallel CD$。又 $\because E$、$F$ 分别是 $AB$、$CD$ 的中点，$\therefore AE = \frac{1}{2} AB$，$CF = \frac{1}{2} CD$，$\therefore AE = CF$，且 $AE \parallel CF$。$\therefore$ 四边形 $AECF$ 是平行四边形。

评分标准：得出 $AB=CD$ 且平行2分，得出 $AE=CF$ 3分，得出 $AE \parallel CF$ 2分，得出结论3分，共10分。

21. 解：（1）共抽取 $4 + 6 + 10 + 8 + 2 = 30$ 名学生。（2）$300 \times \frac{10 + 8}{30} = 300 \times \frac{18}{30} = 180$ 名。

评分标准：（1）正确求和得4分；（2）列式正确3分，计算正确3分，共10分。

22. 解：（1）甲已走 $4t + 4$，乙走 $6t$，由 $4(t + 1) = 6t$，得 $t = 2$ h。（2）$6t = 12$ km。

评分标准：（1）建立方程3分，解得 $t=2$ 得2分；（2）计算正确得到12 km得3分，共10分。

23. 解：（1）$\because AB$ 是 $\odot O$ 的直径，$\therefore \angle ACB = 90^\circ$，即 $\triangle ABC$ 是直角三角形。（2）$\because \angle ABC = 30^\circ$，$\therefore \angle BAC = 60^\circ$。由弦切角定理得 $\angle BCD = \angle BAC = 60^\circ$，$\therefore \angle D = 30^\circ$。在 $Rt\triangle OCD$ 中，$OC = 2$，$\tan \angle D = \frac{OC}{CD}$，$\therefore CD = \frac{OC}{\tan 30^\circ} = 2\sqrt{3}$。

评分标准：（1）正确得出直径所对圆周角为90°得4分；（2）求出角度关系3分，运用三角函数计算3分，结果正确2分，共12分。

24. 解：（1）由题意设 $y = a(x + 1)(x - 3)$，代入 $C(0, 3)$ 得 $3 = a(1)(-3)$，$a = -1$，$\therefore$ 解析式为 $y = -x^2 + 2x + 3$。（2）对称轴为 $x = 1$，点 $A$ 关于对称轴的对称点为 $B$，连接 $BC$，与对称轴的交点即为点 $P$。直线 $BC$ 的解析式为 $y = -x + 3$，当 $x = 1$ 时，$y = 2$，$\therefore P(1, 2)$。

评分标准：（1）设出交点式2分，求出 $a$ 得2分，写出解析式1分；（2）确定对称轴1分，利用对称性找到最短路径点2分，求直线解析式2分，求出坐标2分，共12分。

25. 解：（1）$\Delta = (3k+1)^2 - 4(2k^2+2k) = 9k^2+6k+1-8k^2-8k = k^2 -2k +1 = (k-1)^2 \ge 0$，所以无论 $k$ 取何实数，方程总有实数根。（2）由韦达定理得 $b+c = 3k+1$，$bc = 2k^2+2k$。分两种情况：①若 $a=4$ 为底边，则 $b=c$，由 $b+c = 2b = 3k+1$ 得 $b = \frac{3k+1}{2}$，且 $b^2 = 2k^2+2k$。解得 $k=1$（舍去）或 $k=3$，此时 $b=c=5$，周长为 $5+5+4=14$。②若 $a=4$ 为腰，不妨设 $b=4$，则 $4+c = 3k+1$，$4c = 2k^2+2k$。由 $c = 3k-3$，代入得 $4(3k-3) = 2k^2+2k$，整理得 $k^2 - 5k + 6 = 0$，解得 $k=2$ 或 $k=3$。当 $k=2$ 时，$c=3$，三边为 $4,4,3$，周长为11；当 $k=3$ 时，$c=6$，三边为 $4,4,6$，周长为14。综上，$\triangle ABC$ 的周长为11或14。

评分标准：（1）正确展开并配方得到 $(k-1)^2 \ge 0$ 得5分；（2）韦达定理2分，分类讨论底边为4得4分，分类讨论腰为4得4分，全部正确得10分。

26. 解：$(x-1)(x-3)=0$，$\therefore x_1 = 1$，$x_2 = 3$。

评分标准：因式分解正确3分，写出两个解2分，共5分。