高中数学导数与函数综合练习

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一、解答题（共5题）

1. 已知函数 $f(x)=x^2-2\ln x$。

（1）求 $f(x)$ 的定义域；

（2）求 $f'(x)$；

（3）求函数 $f(x)$ 的单调区间。

2. 已知函数 $f(x)=x\ln x-ax^2+x\ (a\in \mathbb{R})$，当 $x>0$ 时，$f(x)\le 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围。

3. 已知函数 $f(x)=e^x-ax-1$，对 $\forall x>0$，$f(x)\ge 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围。

4. 已知 $f(x)=\ln x-\dfrac{1}{2}x^2+ax$，讨论函数 $f(x)$ 的零点个数。

5. 求证：当 $x>1$ 时，$\ln x>\dfrac{2(x-1)}{x+1}$。