北师大版数学选择性必修一 第一章测试卷

（考试时间：60分钟 满分：100分）

班级：__________ 姓名：__________ 得分：__________

一、单选题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 直线 $x - \sqrt{3}y + 1 = 0$ 的倾斜角为（         ）

A. $30°$    B. $60°$    C. $120°$    D. $150°$

2. 过点 $(2, -1)$ 且与直线 $y = 3x + 2$ 垂直的直线方程为（         ）

A. $x + 3y + 1 = 0$    B. $x + 3y - 1 = 0$    C. $3x + y - 5 = 0$    D. $3x + y + 5 = 0$

3. 圆 $x^2 + y^2 - 4x + 6y + 4 = 0$ 的圆心坐标和半径分别为（         ）

A. $(2, -3)$，$r = 3$    B. $(-2, 3)$，$r = 3$    C. $(2, -3)$，$r = 9$    D. $(-2, 3)$，$r = 9$

4. 已知圆 $C$：$x^2 + y^2 = 25$，则过点 $P(3, 4)$ 作圆 $C$ 的切线，切线的条数为（         ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 无法确定

5. 若直线 $l_1$：$ax + 2y + 1 = 0$ 与直线 $l_2$：$x + (a - 1)y - 2 = 0$ 平行，则实数 $a$ 的值为（         ）

A. $-1$    B. $2$    C. $-1$ 或 $2$    D. $0$ 或 $1$

6. 已知点 $P$ 为直线 $x + y + 2 = 0$ 上一点，过点 $P$ 作圆 $x^2 + (y - 1)^2 = 1$ 的一条切线，切点为 $Q$，则 $|PQ|$ 的最小值为（         ）

A. $1$    B. $\sqrt{2}$    C. $\sqrt{3}$    D. $2$

二、多选题（本大题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分）

7. 下列命题中，正确的是（ ）

A. 任意一条直线都有倾斜角和斜率

B. 垂直于 $x$ 轴的直线的倾斜角为 $90°$

C. 若两条直线的倾斜角相等，则这两条直线平行或重合

D. 直线的倾斜角的取值范围是 $[0°, 180°)$

8. 已知直线 $l$：$kx - y + 1 - k = 0$ 与圆 $C$：$x^2 + y^2 = 4$，则下列说法正确的是（         ）

A. 直线 $l$ 恒过定点 $(1, 1)$

B. 直线 $l$ 与圆 $C$ 一定相交

C. 当 $k = 0$ 时，直线 $l$ 被圆 $C$ 截得的弦长为 $2\sqrt{3}$

D. 存在实数 $k$，使得直线 $l$ 与圆 $C$ 相切

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

9. 已知点 $A(1, 2)$，$B(3, 4)$，则线段 $AB$ 的垂直平分线方程为 ______

10. 圆 $x^2 + y^2 = 4$ 与圆 $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 1$ 的位置关系为 ______（填"外离""外切""相交""内切""内含"）

11. 设点 $P$ 是圆 $x^2 + y^2 = 1$ 上的一动点，则点 $P$ 到直线 $3x + 4y - 10 = 0$ 距离的最小值为 ______

12. 已知直线 $l$：$mx + ny - m - 2n = 0$（$m, n \in \mathbb{R}$，$m^2 + n^2 \neq 0$），则直线 $l$ 被圆 $C$：$x^2 + y^2 - 2x - 4y = 0$ 截得的弦长的最大值为 ______

四、解答题（本大题共3小题，共38分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

13.（本小题满分12分）已知 $\triangle ABC$ 的三个顶点分别为 $A(1, 2)$，$B(-3, 4)$，$C(5, 0)$。

（1）求 $BC$ 边上的中线所在直线的方程；

（2）求 $\triangle ABC$ 的面积。

答：______

14.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知圆 $C$ 经过点 $A(0, 2)$，$B(1, 1)$，且圆心在直线 $l$：$x + y - 1 = 0$ 上。

（1）求圆 $C$ 的方程；

（2）若过点 $P(2, 1)$ 的直线 $m$ 与圆 $C$ 相切，求直线 $m$ 的方程。

答：______

15.（本小题满分14分）已知圆 $O$：$x^2 + y^2 = 4$ 和点 $M(1, 0)$。

（1）过点 $M$ 作圆 $O$ 的弦 $AB$，求弦 $AB$ 的中点 $P$ 的轨迹方程；

（2）设点 $N$ 为圆 $O$ 上的动点，点 $Q$ 满足 $\overrightarrow{MQ} = 2\overrightarrow{QN}$，求点 $Q$ 的轨迹所围成的图形的面积。

答：______