专升本高等数学月考试题
完成时间：_______ 分钟 得分：_______
一、选择题（每小题 4 分，共 32 分） 1. 设 lim x → 0 sin 3 x k x = 2 \lim\limits_{x \to 0}\frac{\sin 3x}{kx} = 2 x → 0 lim k x s i n 3 x = 2 ，则常数 k = k = k = （ ）
A. 3 2 \frac{3}{2} 2 3 B. 2 3 \frac{2}{3} 3 2 C. 3 3 3 D. 6 6 6
2. 当 x → 0 x \to 0 x → 0 时，下列无穷小量与 x 2 x^2 x 2 等价的是（ ）
A. 1 − cos x 1 - \cos x 1 − cos x B. x sin x x\sin x x sin x C. ln ( 1 + x ) \ln(1+x) ln ( 1 + x ) D. tan x − sin x \tan x - \sin x tan x − sin x
3. 设 f ( x ) = { e 2 x − 1 x , x ≠ 0 a , x = 0 f(x)=\begin{cases}\dfrac{e^{2x}-1}{x}, & x \neq 0 \\ a, & x = 0\end{cases} f ( x ) = ⎩ ⎨ ⎧ x e 2 x − 1 , a , x = 0 x = 0 在 x = 0 x=0 x = 0 处连续，则 a = a = a = （ ）
A. 0 0 0 B. 1 1 1 C. 2 2 2 D. 不存在
4. 设 y = x x y = x^x y = x x （x > 0 x>0 x > 0 ），则 y ′ = y' = y ′ = （ ）
A. x x x^x x x B. x x ln x x^x \ln x x x ln x C. x x ( ln x + 1 ) x^x(\ln x + 1) x x ( ln x + 1 ) D. x ⋅ x x − 1 x \cdot x^{x-1} x ⋅ x x − 1
5. 设 f ( x ) f(x) f ( x ) 可导，且 f ′ ( x 0 ) = 2 f'(x_0)=2 f ′ ( x 0 ) = 2 ，则 lim h → 0 f ( x 0 − h ) − f ( x 0 ) 2 h = \lim\limits_{h \to 0}\frac{f(x_0 - h) - f(x_0)}{2h} = h → 0 lim 2 h f ( x 0 − h ) − f ( x 0 ) = （ ）
A. 1 1 1 B. − 1 -1 − 1 C. 2 2 2 D. − 2 -2 − 2
6. 曲线 y = x 3 − 3 x 2 + 1 y = x^3 - 3x^2 + 1 y = x 3 − 3 x 2 + 1 的拐点个数为（ ）
A. 0 0 0 B. 1 1 1 C. 2 2 2 D. 3 3 3
7. 设 ∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C \int f(x)\,dx = F(x) + C ∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C ，则 ∫ f ( 2 x + 1 ) d x = \int f(2x+1)\,dx = ∫ f ( 2 x + 1 ) d x = （ ）
A. F ( 2 x + 1 ) + C F(2x+1)+C F ( 2 x + 1 ) + C B. 1 2 F ( 2 x + 1 ) + C \frac{1}{2}F(2x+1)+C 2 1 F ( 2 x + 1 ) + C C. 2 F ( 2 x + 1 ) + C 2F(2x+1)+C 2 F ( 2 x + 1 ) + C D. F ( x ) + C F(x)+C F ( x ) + C
8. 下列积分中，结果等于 ln ∣ x − 1 ∣ + C \ln|x-1|+C ln ∣ x − 1∣ + C 的是（ ）
A. ∫ 1 x − 1 d x \int \frac{1}{x-1}\,dx ∫ x − 1 1 d x B. ∫ 1 ( x − 1 ) 2 d x \int \frac{1}{(x-1)^2}\,dx ∫ ( x − 1 ) 2 1 d x C. ∫ x x − 1 d x \int \frac{x}{x-1}\,dx ∫ x − 1 x d x D. ∫ 1 x + 1 d x \int \frac{1}{x+1}\,dx ∫ x + 1 1 d x
二、填空题（每小题 4 分，共 24 分） 1. lim x → ∞ ( 1 + 2 x ) 3 x = \lim\limits_{x \to \infty}\left(1 + \frac{2}{x}\right)^{3x} = x → ∞ lim ( 1 + x 2 ) 3 x = ________
2. lim x → 0 tan x − x x 3 = \lim\limits_{x \to 0}\frac{\tan x - x}{x^3} = x → 0 lim x 3 t a n x − x = ________
3. 设 y = ln ( sin x ) y = \ln(\sin x) y = ln ( sin x ) ，则 d y = dy = d y = ________
4. 设 y = arctan 2 x y = \arctan 2x y = arctan 2 x ，则 y ′ ′ ( 0 ) = y''(0) = y ′′ ( 0 ) = ________
5. ∫ 1 x 2 + 4 d x = \int \frac{1}{x^2 + 4}\,dx = ∫ x 2 + 4 1 d x = ________
6. ∫ x e x d x = \int x e^{x}\,dx = ∫ x e x d x = ________
三、计算题（每小题 8 分，共 48 分） 1. 求极限 lim x → 0 e x − 1 − x sin x 2 \lim\limits_{x \to 0}\frac{e^{x} - 1 - x}{\sin x^2} x → 0 lim s i n x 2 e x − 1 − x 。
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2. 求极限 lim x → + ∞ ( x 2 + x − x ) \lim\limits_{x \to +\infty}\left(\sqrt{x^2 + x} - x\right) x → + ∞ lim ( x 2 + x − x ) 。
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3. 设 y = x 1 + x 2 y = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} y = 1 + x 2 x ，求 y ′ y' y ′ 。
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4. 设方程 x 2 + x y + y 2 = 3 x^2 + xy + y^2 = 3 x 2 + x y + y 2 = 3 确定隐函数 y = y ( x ) y = y(x) y = y ( x ) ，求 d y d x \frac{dy}{dx} d x d y 及在点 ( 1 , 1 ) (1,1) ( 1 , 1 ) 处的切线方程。
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5. 求不定积分 ∫ 2 x + 3 x 2 + 3 x + 2 d x \int \frac{2x + 3}{x^2 + 3x + 2}\,dx ∫ x 2 + 3 x + 2 2 x + 3 d x 。
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6. 求不定积分 ∫ 1 1 + x d x \int \frac{1}{1 + \sqrt{x}}\,dx ∫ 1 + x 1 d x 。
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四、综合应用题（共 16 分） 1.（8 分）设函数 f ( x ) = x 3 − 3 x 2 − 9 x + 5 f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5 f ( x ) = x 3 − 3 x 2 − 9 x + 5 。
（1）求 f ( x ) f(x) f ( x ) 的单调区间与极值；
（2）求 f ( x ) f(x) f ( x ) 在区间 [ − 2 , 4 ] [-2, 4] [ − 2 , 4 ] 上的最大值与最小值。
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2.（8 分）已知曲线 y = ln x y = \ln x y = ln x 上一点 P P P ，过 P P P 的切线与直线 y = 2 x y = 2x y = 2 x 平行。
（1）求点 P P P 的坐标；
（2）求该切线与曲线 y = ln x y = \ln x y = ln x 、直线 x = 1 x = 1 x = 1 及 x x x 轴所围成的图形面积（用定积分表示并计算）。
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