高二数学椭圆综合练习题

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一、解答题（共2题）

第1题

已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的长轴长是短轴长的 $\sqrt{3}$ 倍，且椭圆 $C$ 的焦距为 4。

（1）求椭圆 $C$ 的方程；

（2）设点 $M(1,1)$，直线 $l$ 过 $M$ 且与椭圆 $C$ 相交于 $A$，$B$ 两点，若 $M$ 是线段 $AB$ 的中点，求直线 $l$ 的方程。

第2题

已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的右焦点为 $F(2,0)$，短轴长为 8。

（1）求椭圆 $C$ 的方程；

（2）若 $B$ 是上顶点，直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $M$，$N$ 两点，$\triangle BMN$ 的重心恰好为点 $F$，求直线 $l$ 的方程。

解答题（共2题）

1. 已知双曲线的中心在原点，焦点在 $x$ 轴上，离心率为 $\sqrt{2}$，且过点 $P(4,-\sqrt{10})$。

（1）求双曲线的方程；

（2）直线 $l:y=kx+\sqrt{2}$ 与双曲线 $C$ 的左支交于 $A$、$B$ 两点，求 $k$ 的取值范围。

2. 在以 $O$ 为原点的平面直角坐标系中，过点 $P(0,3)$ 且斜率存在的直线 $l$ 与椭圆 $C:\dfrac{x^2}{12}+\dfrac{y^2}{4}=1$ 交于 $A$、$B$ 两点，设 $AB$ 的中点为 $Q$。

（1）求直线 $l$ 与 $OQ$ 的斜率之积；

（2）求 $\triangle OAB$ 面积的最大值。