九年级数学上册《一元二次方程》单元测试卷

（满分：120分 考试时间：120分钟

姓名：__________ 学号：__________ 班级：__________

注意事项：

1. 答题前请将姓名、学号、班级填写清楚。

2. 请用黑色签字笔或钢笔答题，保持卷面整洁。

3. 选择题和填空题的答案请写在题后的括号或横线上。

4. 解答题需写出必要的文字说明、计算步骤或推理过程。

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个正确选项）

1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）

A. $x^2 + \frac{1}{x} = 2$ B. $ax^2 + bx + c = 0$ C. $2x^2 - 3x + 1 = 0$ D. $x^2 - 2y + 1 = 0$

2. 一元二次方程 $x^2 - 4x + 3 = 0$ 经过配方后可化为（ ）

A. $(x + 2)^2 = 1$ B. $(x - 2)^2 = 1$ C. $(x + 2)^2 = 7$ D. $(x - 2)^2 = 7$

3. 方程 $x^2 - 9 = 0$ 的根是（ ）

A. $x = 3$ B. $x_1 = 3$，$x_2 = -3$ C. $x = -3$ D. $x_1 = 3$，$x_2 = 0$

4. 一元二次方程 $x^2 - 2x + 3 = 0$ 的根的情况是（ ）

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定

5. 若 $x = 2$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - mx + 2 = 0$ 的一个根，则 $m$ 的值为（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

6. 方程 $x(x - 3) = 0$ 的两个根之和为（ ）

A. -3 B. 0 C. 3 D. 6

7. 用公式法解方程 $2x^2 - 3x - 2 = 0$ 时，$b^2 - 4ac$ 的值为（ ）

A. 5 B. 7 C. 25 D. -7

8. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 + 4x + k = 0$ 有两个相等的实数根，则 $k$ 的值为（ ）

A. 4 B. -4 C. 16 D. 2

9. 已知一元二次方程 $x^2 - 5x + 6 = 0$ 的两根为 $x_1$、$x_2$，则 $x_1 \cdot x_2$ 的值为（ ）

A. 5 B. -5 C. 6 D. -6

10. 某商品原价为100元，连续两次降价后售价为81元，若每次降价的百分率相同，设为 $x$，则可列方程为（ ）

A. $100(1 - x)^2 = 81$ B. $100(1 + x)^2 = 81$ C. $81(1 - x)^2 = 100$ D. $100(1 - 2x) = 81$

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

三、解答题（本大题共6小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19.（本题满分12分） 用适当的方法解下列方程：

（1）$x^2 - 4x = 0$； （2）$x^2 - 2x - 8 = 0$；

（3）$2x^2 + 3x - 2 = 0$； （4）$(x - 1)^2 = 9$。

解：（1）________________________________________________

（2）________________________________________________

（3）________________________________________________

（4）________________________________________________

20.（本题满分10分） 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 + (2k - 1)x + k^2 = 0$ 有两个相等的实数根，求 $k$ 的值。

解：________________________________________________

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21.（本题满分10分） 已知一元二次方程 $x^2 - 4x + m = 0$ 的两根为 $x_1$、$x_2$，且 $x_1^2 + x_2^2 = 12$，求 $m$ 的值。

解：________________________________________________

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22.（本题满分12分） 某地区2022年人均收入为2万元，经过两年的增长，到2024年人均收入达到2.88万元。求这两年人均收入的年平均增长率。

解：________________________________________________

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23.（本题满分10分） 如图，某小区计划在一块长为32m、宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路（两条纵向、一条横向，横向与纵向互相垂直），剩余部分种植草坪。若要使草坪面积为570m²，求道路的宽度。

解：________________________________________________

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24.（本题满分12分） 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售、增加盈利，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。若商场每天要盈利1200元，且尽快减少库存，则每件衬衫应降价多少元？

解：________________________________________________

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参考答案

一、选择题（每小题3分，共30分）

1. C 2. B 3. B 4. C 5. C

6. C 7. C 8. A 9. C 10. A

二、填空题（每小题3分，共24分）

11. $x_1 = 1$，$x_2 = -2$

12. 3；-5

13. $x_1 = x_2 = 3$

14. 2

15. -6

16. $k < 1$

17. -3

18. $x(x + 3) = 54$（或 $x^2 + 3x - 54 = 0$）

三、解答题（共66分）

19.（12分）

（1）解：$x(x - 4) = 0$，所以 $x_1 = 0$，$x_2 = 4$。

（2）解：因式分解得 $(x - 4)(x + 2) = 0$，所以 $x_1 = 4$，$x_2 = -2$。

（3）解：因式分解得 $(2x - 1)(x + 2) = 0$，所以 $x_1 = \frac{1}{2}$，$x_2 = -2$。

（4）解：直接开平方得 $x - 1 = \pm 3$，所以 $x_1 = 4$，$x_2 = -2$。

20.（10分）

解：由题意得 $\Delta = (2k - 1)^2 - 4k^2 = 0$。

展开得 $4k^2 - 4k + 1 - 4k^2 = 0$，即 $-4k + 1 = 0$。

解得 $k = \frac{1}{4}$。

21.（10分）

解：由韦达定理得 $x_1 + x_2 = 4$，$x_1 \cdot x_2 = m$。

因为 $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 16 - 2m = 12$。

所以 $2m = 4$，解得 $m = 2$。

检验：当 $m = 2$ 时，$\Delta = 16 - 8 = 8 > 0$，方程有实数根，符合题意。

22.（12分）

解：设这两年人均收入的年平均增长率为 $x$。

根据题意得 $2(1 + x)^2 = 2.88$。

即 $(1 + x)^2 = 1.44$，解得 $1 + x = \pm 1.2$。

所以 $x_1 = 0.2 = 20\%$，$x_2 = -2.2$（不符合题意，舍去）。

答：这两年人均收入的年平均增长率为20%。

23.（10分）

解：设道路的宽度为 $x$ m。

将三条道路平移到矩形边缘，草坪可看作一个长为 $(32 - 2x)$ m、宽为 $(20 - x)$ m 的矩形。

根据题意得 $(32 - 2x)(20 - x) = 570$。

展开得 $640 - 32x - 40x + 2x^2 = 570$，即 $2x^2 - 72x + 70 = 0$。

两边同除以2得 $x^2 - 36x + 35 = 0$。

因式分解得 $(x - 1)(x - 35) = 0$。

所以 $x_1 = 1$，$x_2 = 35$（不符合实际，舍去）。

答：道路的宽度为1m。

24.（12分）

解：设每件衬衫应降价 $x$ 元。

则每件盈利为 $(40 - x)$ 元，每天可售出 $(20 + 2x)$ 件。

根据题意得 $(40 - x)(20 + 2x) = 1200$。

展开得 $800 + 80x - 20x - 2x^2 = 1200$，即 $-2x^2 + 60x - 400 = 0$。

两边同除以 -2 得 $x^2 - 30x + 200 = 0$。

因式分解得 $(x - 10)(x - 20) = 0$。

所以 $x_1 = 10$，$x_2 = 20$。

因为要尽快减少库存，所以应选择降价更多的方案，取 $x = 20$。

答：每件衬衫应降价20元。