河北省高一数学指数运算练习题

完成时间：______ 分钟 得分：______

一、填空题（共10小题，每小题3分）

在横线上填写正确的数值或表达式。

二、计算题（共4小题，每小题5分）

化简或计算下列各式。

1. $4^{\frac{1}{2}} \times 8^{\frac{2}{3}} \div 16^{\frac{3}{4}}$

解：________________________________________________________________

2. $(\frac{27}{8})^{-\frac{2}{3}} + (0.064)^{-\frac{1}{3}}$

解：________________________________________________________________

3. $\frac{a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{5}{6}}}$ （$a>0$）

解：________________________________________________________________

4. $(2x^{\frac{1}{4}} y^{-\frac{1}{3}})(3x^{-\frac{1}{2}} y^{\frac{2}{3}})$ （$x>0, y>0$）

解：________________________________________________________________

三、比较大小（共2小题，每小题4分）

在横线上填写 $>$， $<$ 或 $=$。

四、解方程（共2小题，每小题6分）

1. $4^x - 2^{x+2} + 3 = 0$

解：________________________________________________________________

2. $9^x - 4 \cdot 3^x + 3 = 0$

解：________________________________________________________________

五、应用题（共2小题，每小题10分）

1. 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……现有1个这样的细胞，经过 $x$ 次分裂后，细胞个数 $y$ 与 $x$ 的函数关系式为 $y=2^x$。

（1）求经过5次分裂后，细胞的个数；

（2）如果要使细胞个数超过1000个，至少需要经过几次分裂？（参考数据：$\lg 2 \approx 0.3010$）

答：（1）____________________________________________________________

（2）____________________________________________________________

2. 银行有一种理财产品的年化收益率 $r$ 满足方程 $(1+r)^5 = 1.5$，表示投资5年后总资产变为本金的1.5倍。求 $r$ 的值。（结果保留三位小数，可使用计算器）

解：________________________________________________________________

参考答案与解析

一、填空题

1. 4

解析： $16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4$。

2. 4

解析： $8^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^{3 \times \frac{2}{3}} = 2^2 = 4$。

3. 9

解析： $\sqrt[3]{27^2} = \sqrt[3]{(3^3)^2} = \sqrt[3]{3^6} = 3^{\frac{6}{3}} = 3^2 = 9$。

4. 3

解析： $(\frac{1}{9})^{-\frac{1}{2}} = (9^{-1})^{-\frac{1}{2}} = 9^{(-1) \times (-\frac{1}{2})} = 9^{\frac{1}{2}} = 3$。

5. $\frac{3}{2}$ 或 1.5

解析： $5^0 + 2^{-1} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$。

6. $a^2$

解析： $a^{\frac{2}{3}} \cdot a^{\frac{4}{3}} = a^{\frac{2}{3} + \frac{4}{3}} = a^{\frac{6}{3}} = a^2$。

7. 6

解析： $(2^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}})^2 = (6^{\frac{1}{2}})^2 = 6^{\frac{1}{2} \times 2} = 6^1 = 6$。

8. $\sqrt{2}$

解析： $\frac{6^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}}} = (\frac{6}{3})^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$。

9. 10

解析： $10000^{0.25} = (10^4)^{\frac{1}{4}} = 10^{4 \times \frac{1}{4}} = 10^1 = 10$。

10. 8

解析： $(\sqrt[4]{16})^3 = (16^{\frac{1}{4}})^3 = 16^{\frac{3}{4}} = (2^4)^{\frac{3}{4}} = 2^3 = 8$。

二、计算题

1. 解：原式 $= (2^2)^{\frac{1}{2}} \times (2^3)^{\frac{2}{3}} \div (2^4)^{\frac{3}{4}}$

$= 2^{2 \times \frac{1}{2}} \times 2^{3 \times \frac{2}{3}} \div 2^{4 \times \frac{3}{4}}$

$= 2^1 \times 2^2 \div 2^3$

$= 2^{1+2-3} = 2^0 = 1$。

2. 解：原式 $= [(\frac{3}{2})^3]^{-\frac{2}{3}} + [(0.4)^3]^{-\frac{1}{3}}$

$= (\frac{3}{2})^{3 \times (-\frac{2}{3})} + (0.4)^{3 \times (-\frac{1}{3})}$

$= (\frac{3}{2})^{-2} + (0.4)^{-1}$

$= (\frac{2}{3})^2 + \frac{1}{0.4}$

$= \frac{4}{9} + 2.5 = \frac{4}{9} + \frac{5}{2} = \frac{8}{18} + \frac{45}{18} = \frac{53}{18}$。

3. 解：原式 $= a^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{5}{6}} = a^{\frac{3}{6} + \frac{2}{6} - \frac{5}{6}} = a^0 = 1$。

4. 解：原式 $= 2 \times 3 \times x^{\frac{1}{4} + (-\frac{1}{2})} \times y^{-\frac{1}{3} + \frac{2}{3}}$

$= 6 \times x^{\frac{1}{4} - \frac{2}{4}} \times y^{\frac{1}{3}}$

$= 6 x^{-\frac{1}{4}} y^{\frac{1}{3}} = \frac{6 y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{4}}}$。

三、比较大小

1. $>$

解析： 底数 $3 > 1$，指数函数 $y=3^x$ 单调递增，因为 $0.7 > 0.5$，所以 $3^{0.7} > 3^{0.5}$。

2. $<$

解析： 底数 $\frac{1}{2} < 1$，指数函数 $y=(\frac{1}{2})^x$ 单调递减，因为 $-1.2 < -0.8$，所以 $(\frac{1}{2})^{-1.2} > (\frac{1}{2})^{-0.8}$。注意：指数为负时，函数值大小关系与指数本身大小关系相反。

四、解方程

1. 解：原方程化为 $(2^x)^2 - 4 \cdot 2^x + 3 = 0$。

令 $t = 2^x (t>0)$，则方程变为 $t^2 - 4t + 3 = 0$。

解得 $t = 1$ 或 $t = 3$。

即 $2^x = 1$ 或 $2^x = 3$。

解得 $x = 0$ 或 $x = \log_2 3$。

经检验，都是原方程的解。

2. 解：原方程化为 $(3^x)^2 - 4 \cdot 3^x + 3 = 0$。

令 $t = 3^x (t>0)$，则方程变为 $t^2 - 4t + 3 = 0$。

解得 $t = 1$ 或 $t = 3$。

即 $3^x = 1$ 或 $3^x = 3$。

解得 $x = 0$ 或 $x = 1$。

经检验，都是原方程的解。

五、应用题

1. 解：（1）当 $x=5$ 时，$y = 2^5 = 32$。

答：经过5次分裂后，细胞个数为32个。

（2）依题意，$2^x > 1000$。

两边取常用对数得 $x \lg 2 > \lg 1000$，即 $x \lg 2 > 3$。

因为 $\lg 2 \approx 0.3010$，所以 $x > \frac{3}{0.3010} \approx 9.97$。

因为 $x$ 是正整数，所以 $x_{min} = 10$。

答：至少需要经过10次分裂。

2. 解：由 $(1+r)^5 = 1.5$，得 $1+r = 1.5^{\frac{1}{5}}$。

使用计算器计算：$1.5^{0.2} \approx 1.08447$。

所以 $r \approx 1.08447 - 1 = 0.08447 \approx 0.084$。

答：年化收益率 $r$ 约为 0.084 或 8.4%。