数学思维开拓训练（一）

完成时间：120 分钟 满分：150 分 得分：________

数学 · 答题卡

参考答案

一、选择题（每小题3分，共30分）

1. B 2. C 3. C 4. B 5. D 6. D 7. B 8. C 9. C 10. D

1. B。解析：$x^2 - 3x - 4 = (x-4)(x+1) = 0$，所以 $x_1 = -1,\ x_2 = 4$。

2. C。解析：$y = 2(x-3)^2 + 4$ 的顶点为 $(3,4)$。

3. C。解析：由勾股定理得 $AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$。

4. B。解析：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，故 $\angle ACB = 40^\circ$。

5. D。解析：$AE = 4$，$R^2 = OE^2 + AE^2 = 3^2 + 4^2 = 25$，所以 $R = 5$。

6. D。解析：由 $\sin A = \frac{3}{5}$ 得对边为 3，斜边为 5，邻边为 4，所以 $\tan A = \frac{3}{4}$。

7. B。解析：$A=[-2,3]$，$B=(0,4)$，故 $A \cap B = (0,3]$。

8. C。解析：$|z| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = 5$。

9. C。解析：$\pi$ 是无限不循环小数，属于无理数。

10. D。解析：$y = x^2 - 2x + 3 = (x-1)^2 + 2$，顶点为 $(1,2)$，在第一象限。

二、填空题（11-14每小题4分，共16分；21-25每小题4分，共20分）

11. $(2,3)$。解析：$y = x^2 - 4x + 7 = (x-2)^2 + 3$。

12. $5$。解析：半弦长为 3，弦心距为 4，半径 $R = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$。

13. $45^\circ$。解析：$\tan 45^\circ = 1$。

14. $5$。解析：由韦达定理，两根之和 $=-\frac{-5}{1}=5$。

21. $0$。解析：由 $A \cup B = A$ 得 $B \subseteq A$，取 $m = 0$ 满足集合互异性且成立。

22. $1-i$。解析：$z = \frac{2i}{1+i} = 1+i$，故 $\overline{z} = 1-i$。

23. $0$；$2\sqrt{5}-4$。解析：$a+b=0$，$a-b=(\sqrt5-2)-(2-\sqrt5)=2\sqrt5-4$。

24. $2$。解析：代入点 $(1,2)$ 得 $2 = a(1-2)^2 = a$。

25. $(-8,0)$。解析：$AB=10$，设 $C(x,0)$，则 $x^2+36=100$，得 $x=\pm 8$，异于 $B$ 取 $x=-8$。

三、解答题

15. 解：$x^2 - 2x - 8 = 0$，因式分解得 $(x-4)(x+2)=0$，所以 $x_1 = 4,\ x_2 = -2$。

16. 解：（1）$y = -x^2 + 4x - 3 = -(x-2)^2 + 1$，顶点坐标为 $(2,1)$。

（2）令 $y=0$，得 $-x^2 + 4x - 3 = 0$，即 $x^2 - 4x + 3 = 0$，所以 $(x-1)(x-3)=0$，交点坐标为 $(1,0)$，$(3,0)$。

17. 解：连接 $OC$，设 $OE=x$。由直径 $AB=10$ 得 $OC=5$。由垂径定理得 $CE=DE=4$。在 Rt$\triangle OEC$ 中，$x^2 + 4^2 = 5^2$，解得 $x=3$，即 $OE=3$。

18. 解：由 $\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{4}{5}$，设 $BC=4k$，$AB=5k$，则 $AC=3k$。由 $AC=6$ 得 $k=2$，所以 $AB=10$，$BC=8$。$\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$。

19. 解：（1）判别式 $\Delta = (2m-1)^2 - 4m^2 = -4m+1 \ge 0$，解得 $m \le \frac{1}{4}$。

（2）代入 $x=1$ 得 $1+(2m-1)+m^2=0$，即 $m^2+2m=0$，解得 $m=0$ 或 $m=-2$。当 $m=0$ 时，方程为 $x^2-x=0$，另一根为 $0$；当 $m=-2$ 时，方程为 $x^2-5x+4=0$，另一根为 $4$。

20. 解：作 $AF \perp BC$ 于 $F$。在等腰 $\triangle ABC$ 中，$\sin C = \frac{3}{5}$，所以 $\cos C = \frac{4}{5}$。由 $AC=5$，得 $CF=4$，$AF=3$，故 $BC=8$。因为 $AB$ 为⊙O直径，所以 $\angle ADB = 90^\circ$，即 $AD \perp BC$。又 $AB=AC$，所以 $D$ 为 $BC$ 中点，$CD=4$。在 Rt$\triangle ADC$ 中，$AD=3$，$CD=4$，$AC=5$。由面积得 $\frac{1}{2}AD \cdot CD = \frac{1}{2}AC \cdot DE$，所以 $DE = \frac{3 \times 4}{5} = \frac{12}{5}$。

26. 解：$A = \{x \mid x^2-3x+2 \le 0\} = [1,2]$，$B = \{x \mid |x-2| \lt 1\} = (1,3)$。

（1）$A \cap B = (1,2]$。

（2）$\complement_U A = (-\infty,1) \cup (2,+\infty)$，所以 $(\complement_U A) \cup B = (-\infty,1) \cup (1,+\infty)$，即 $\mathbb R \setminus \{1\}$。

27. 解：实系数方程有一个根为 $1+2i$，则另一根必为 $1-2i$。由韦达定理，两根和为 $2 = -p$，得 $p=-2$；两根积为 $(1+2i)(1-2i)=1+4=5=q$。所以 $p=-2$，$q=5$，另一根为 $1-2i$。

28. 解：（1）$P$ 点表示为 $-6+2t$，$Q$ 点表示为 $10-t$。相遇时 $-6+2t = 10-t$，解得 $t = \frac{16}{3}$。此时位置为 $-6+2 \times \frac{16}{3} = \frac{14}{3}$。

（2）$PQ = |(10-t)-(-6+2t)| = |16-3t|$。令 $|16-3t| = 3$，得 $16-3t=3$ 或 $16-3t=-3$，解得 $t=\frac{13}{3}$ 或 $t=\frac{19}{3}$。经检验均满足题意，所以存在，$t=\frac{13}{3}$ 或 $t=\frac{19}{3}$。