贵阳市数学高考模拟卷

完成时间：_______ 分钟 得分：_______

（满分 150 分，考试时间 120 分钟）

一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合 $A = \{x \mid x^2 - 3x - 4 \le 0\}$，$B = \{x \mid x > 1\}$，则 $A \cap B =$（         ）

A. $(1, 4]$    B. $[1, 4]$    C. $(1, 4)$    D. $[-1, 4]$

2. 若复数 $z$ 满足 $z(1 + i) = 2i$，则 $|z| =$（         ）

A. $1$    B. $\sqrt{2}$    C. $2$    D. $2\sqrt{2}$

3. 已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$，$\vec{b} = (m, -1)$，若 $\vec{a} \perp \vec{b}$，则 $m =$（         ）

A. $-2$    B. $2$    C. $\dfrac{1}{2}$    D. $-\dfrac{1}{2}$

4. 函数 $f(x) = \ln(x + 1) - \dfrac{2}{x}$ 的零点所在区间为（         ）

A. $(0, 1)$    B. $(1, 2)$    C. $(2, 3)$    D. $(3, 4)$

5. 已知 $\sin\alpha + \cos\alpha = \dfrac{1}{5}$，$\alpha \in (0, \pi)$，则 $\tan\alpha =$（         ）

A. $-\dfrac{4}{3}$    B. $\dfrac{4}{3}$    C. $-\dfrac{3}{4}$    D. $\dfrac{3}{4}$

6. 已知双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\ (a > 0, b > 0)$ 的一条渐近线方程为 $y = 2x$，则其离心率为（         ）

A. $\sqrt{3}$    B. $\sqrt{5}$    C. $\dfrac{\sqrt{5}}{2}$    D. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

7. 若 $x, y$ 满足约束条件 $\begin{cases} x + y \le 4 \\ x - y \ge -2 \\ y \ge 0 \end{cases}$，则 $z = 2x + y$ 的最大值为（         ）

A. $4$    B. $6$    C. $7$    D. $8$

8. 已知等比数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1 + a_3 = 10$，$a_2 + a_4 = 20$，则 $a_5 =$（         ）

A. $16$    B. $24$    C. $32$    D. $48$

9. 将函数 $f(x) = \sin\left(2x + \dfrac{\pi}{6}\right)$ 的图象向右平移 $\dfrac{\pi}{6}$ 个单位长度，所得函数图象的一条对称轴方程为（         ）

A. $x = \dfrac{\pi}{6}$    B. $x = \dfrac{\pi}{3}$    C. $x = \dfrac{\pi}{2}$    D. $x = \dfrac{2\pi}{3}$

10. 某几何体的三视图描述为：正视图与侧视图都是直角边长为 $2$ 的等腰直角三角形，俯视图是边长为 $2$ 的正方形，则该几何体的体积为（         ）

A. $\dfrac{4}{3}$    B. $\dfrac{8}{3}$    C. $4$    D. $8$

11. 已知抛物线 $C: y^2 = 4x$ 的焦点为 $F$，过 $F$ 的直线与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，若 $|AB| = 8$，则线段 $AB$ 中点的横坐标为（         ）

A. $2$    B. $3$    C. $4$    D. $5$

12. 已知函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$，若关于 $x$ 的方程 $f(x) = k$ 有三个不同的实根，则 $k$ 的取值范围是（ ）

A. $(-2, 2)$    B. $(-2, 2]$    C. $[-2, 2)$    D. $(-3, 2)$

二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）

13. $(x + 2)^6$ 的展开式中 $x^4$ 的系数为 ________。

14. 已知等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，若 $a_1 = 1$，$S_5 = 25$，则 $a_8 =$ ________。

15. 已知 $\triangle ABC$ 中，$a = 3$，$b = 4$，$C = \dfrac{\pi}{3}$，则 $c =$ ________。

16. 已知球 $O$ 的表面积为 $16\pi$，则该球的体积为 ________。

三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分 12 分）

已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1 = 2$，$a_{n+1} = 2a_n + 2\ (n \in \mathbb{N}^*)$。

（1）证明：数列 $\{a_n + 2\}$ 是等比数列；

（2）求数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$。

答：________________________________________

18.（本小题满分 12 分）

在 $\triangle ABC$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$，且 $2a\cos B = 2c - b$。

（1）求角 $A$ 的大小；

（2）若 $a = \sqrt{7}$，$b + c = 5$，求 $\triangle ABC$ 的面积。

答：________________________________________

19.（本小题满分 12 分）

某工厂生产一种零件，其质量指标值 $X$ 服从正态分布 $N(100, \sigma^2)$。现从一批产品中随机抽取 $100$ 件，测得质量指标值的平均数为 $100$，标准差为 $2$。

（1）估计该批零件质量指标值在 $(96, 104)$ 内的概率（用正态分布 $3\sigma$ 原则，即 $P(\mu - 2\sigma < X < \mu + 2\sigma) \approx 0.954$）；

（2）若质量指标值不低于 $104$ 的零件为优等品，试估计这批零件中优等品所占的比例。

答：________________________________________

20.（本小题满分 12 分）

如图（文字描述）：在四棱锥 $P\text{-}ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 是边长为 $2$ 的正方形，$PA \perp$ 底面 $ABCD$，$PA = 2$，$E$ 为 $PB$ 的中点。

（1）证明：$AC \perp$ 平面 $PBD$；

（2）求直线 $AE$ 与平面 $PCD$ 所成角的正弦值。

答：________________________________________

21.（本小题满分 12 分）

已知椭圆 $C: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\ (a > b > 0)$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，且过点 $\left(1, \dfrac{1}{2}\right)$。

（1）求椭圆 $C$ 的标准方程；

（2）设直线 $l: y = kx + m$ 与椭圆 $C$ 交于 $M, N$ 两点，若以 $MN$ 为直径的圆过原点 $O$，求证：$m^2$ 为定值。

答：________________________________________

22.（本小题满分 10 分）

已知函数 $f(x) = \ln x - ax + 1\ (a \in \mathbb{R})$。

（1）讨论函数 $f(x)$ 的单调性；

（2）若 $f(x) \le 0$ 对任意 $x > 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围。

答：________________________________________

参考答案

一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）

1. 解析：$x^2 - 3x - 4 \le 0$ 解得 $-1 \le x \le 4$，即 $A = [-1, 4]$。$A \cap B = (1, 4]$，故选 A。

2. 解析：$z = \dfrac{2i}{1 + i} = \dfrac{2i(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \dfrac{2i + 2}{2} = 1 + i$，故 $|z| = \sqrt{2}$，选 B。

3. 解析：$\vec{a} \perp \vec{b} \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = m - 2 = 0$，得 $m = 2$，选 B。

4. 解析：$f(1) = \ln 2 - 2 < 0$，$f(2) = \ln 3 - 1 > 0$，由零点存在定理知零点在 $(1, 2)$，选 B。

5. 解析：由 $\sin\alpha + \cos\alpha = \dfrac{1}{5}$ 平方得 $1 + 2\sin\alpha\cos\alpha = \dfrac{1}{25}$，即 $\sin\alpha\cos\alpha = -\dfrac{12}{25} < 0$。又 $\alpha \in (0, \pi)$，故 $\sin\alpha > 0$，$\cos\alpha < 0$，$\alpha$ 为钝角。由 $\sin\alpha - \cos\alpha = \sqrt{1 - 2\sin\alpha\cos\alpha} = \sqrt{\dfrac{49}{25}} = \dfrac{7}{5}$，解得 $\sin\alpha = \dfrac{4}{5}$，$\cos\alpha = -\dfrac{3}{5}$，$\tan\alpha = -\dfrac{4}{3}$，选 A。

6. 解析：渐近线 $y = \dfrac{b}{a}x = 2x$，得 $b = 2a$，$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{5}a$，$e = \dfrac{c}{a} = \sqrt{5}$，选 B。

7. 解析：可行域顶点为 $(0, 0)$，$(4, 0)$，$(1, 3)$。代入 $z = 2x + y$ 分别得 $0$，$8$，$5$，最大值为 $8$。故选 D。

8. 解析：设公比为 $q$，则 $a_2 + a_4 = q(a_1 + a_3) = 10q = 20$，得 $q = 2$。由 $a_1 + a_1 q^2 = 5a_1 = 10$ 得 $a_1 = 2$，$a_5 = a_1 q^4 = 2 \times 16 = 32$，选 C。

9. 解析：平移后 $g(x) = \sin\left[2\left(x - \dfrac{\pi}{6}\right) + \dfrac{\pi}{6}\right] = \sin\left(2x - \dfrac{\pi}{6}\right)$。令 $2x - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$，得 $x = \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{k\pi}{2}$。当 $k = 0$ 时 $x = \dfrac{\pi}{3}$，选 B。

10. 解析：由三视图知该几何体为底面是边长为 $2$ 的正方形、高为 $2$ 的四棱锥，体积 $V = \dfrac{1}{3} \times 2^2 \times 2 = \dfrac{8}{3}$，选 B。

11. 解析：抛物线 $y^2 = 4x$ 中 $p = 2$，焦点 $F(1, 0)$。设 $A(x_1, y_1)$，$B(x_2, y_2)$，由焦点弦公式 $|AB| = x_1 + x_2 + p = x_1 + x_2 + 2 = 8$，得 $x_1 + x_2 = 6$，中点横坐标为 $3$，选 B。

12. 解析：$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$。$f(x)$ 在 $x = 0$ 处取极大值 $f(0) = 2$，在 $x = 2$ 处取极小值 $f(2) = 8 - 12 + 2 = -2$。方程有三个不同实根需 $-2 < k < 2$，选 A。

二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）

13. $60$

解析：$x^4$ 项为 $C_6^2 x^4 \cdot 2^2 = 15 \times 4 x^4 = 60x^4$，系数为 $60$。

14. $15$

解析：$S_5 = 5a_1 + \dfrac{5 \times 4}{2}d = 5 + 10d = 25$，得 $d = 2$。$a_8 = a_1 + 7d = 1 + 14 = 15$。

15. $\sqrt{13}$

解析：由余弦定理 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C = 9 + 16 - 2 \times 3 \times 4 \times \dfrac{1}{2} = 25 - 12 = 13$，故 $c = \sqrt{13}$。

16. $\dfrac{32\pi}{3}$

解析：$4\pi R^2 = 16\pi$，得 $R = 2$，$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi \times 8 = \dfrac{32\pi}{3}$。

三、解答题（共 70 分）

17.（12 分）

（1）由 $a_{n+1} = 2a_n + 2$ 得 $a_{n+1} + 2 = 2a_n + 4 = 2(a_n + 2)$。

又 $a_1 + 2 = 4 \ne 0$，故 $\dfrac{a_{n+1} + 2}{a_n + 2} = 2$ 为常数。

所以数列 $\{a_n + 2\}$ 是以 $4$ 为首项、$2$ 为公比的等比数列。

（2）由（1）得 $a_n + 2 = 4 \cdot 2^{n-1} = 2^{n+1}$，即 $a_n = 2^{n+1} - 2$。

$S_n = \sum_{k=1}^{n}(2^{k+1} - 2) = (2^2 + 2^3 + \cdots + 2^{n+1}) - 2n = \dfrac{4(2^n - 1)}{2 - 1} - 2n = 2^{n+2} - 4 - 2n$。

18.（12 分）

（1）由 $2a\cos B = 2c - b$ 及余弦定理 $\cos B = \dfrac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$，得

$2a \cdot \dfrac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = 2c - b$，即 $\dfrac{a^2 + c^2 - b^2}{c} = 2c - b$。

整理得 $a^2 + c^2 - b^2 = 2c^2 - bc$，即 $b^2 + c^2 - a^2 = bc$。

所以 $\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \dfrac{bc}{2bc} = \dfrac{1}{2}$，又 $A \in (0, \pi)$，故 $A = \dfrac{\pi}{3}$。

（2）由余弦定理 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A = b^2 + c^2 - bc = (b + c)^2 - 3bc$。

代入 $a = \sqrt{7}$，$b + c = 5$ 得 $7 = 25 - 3bc$，解得 $bc = 6$。

所以 $S = \dfrac{1}{2}bc\sin A = \dfrac{1}{2} \times 6 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$。

19.（12 分）

（1）由题意 $\mu = 100$，$\sigma = 2$，则 $(96, 104) = (\mu - 2\sigma, \mu + 2\sigma)$，

故 $P(96 < X < 104) \approx 0.954$。

（2）$P(X \ge 104) = \dfrac{1 - P(96 < X < 104)}{2} \approx \dfrac{1 - 0.954}{2} = 0.023$。

故估计这批零件中优等品所占比例约为 $2.3\%$。

20.（12 分）

以 $A$ 为原点，$AB$、$AD$、$AP$ 所在直线分别为 $x$、$y$、$z$ 轴建立空间直角坐标系，

则 $A(0,0,0)$，$B(2,0,0)$，$C(2,2,0)$，$D(0,2,0)$，$P(0,0,2)$，$E(1,0,1)$。

（1）$\overrightarrow{AC} = (2,2,0)$，$\overrightarrow{BD} = (-2,2,0)$，$\overrightarrow{BP} = (-2,0,2)$。

$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = -4 + 4 + 0 = 0$，$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BP} = -4 + 0 + 0 = 0$。

故 $AC \perp BD$，$AC \perp BP$。又 $BD \cap BP = B$，$BD, BP \subset$ 平面 $PBD$，

所以 $AC \perp$ 平面 $PBD$。

（2）$\overrightarrow{PC} = (2,2,-2)$，$\overrightarrow{PD} = (0,2,-2)$。

设平面 $PCD$ 的法向量为 $\vec{n} = (x,y,z)$，由 $\begin{cases} \vec{n} \cdot \overrightarrow{PC} = 0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{PD} = 0 \end{cases}$ 得 $\begin{cases} x + y - z = 0 \\ y - z = 0 \end{cases}$。

$\overrightarrow{AE} = (1,0,1)$，设直线 $AE$ 与平面 $PCD$ 所成角为 $\theta$，

取 $z = 1$，得 $y = 1$，$x = 0$，即 $\vec{n} = (0,1,1)$。

则 $\sin\theta = \dfrac{|\overrightarrow{AE} \cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{AE}| \cdot |\vec{n}|} = \dfrac{|0 + 0 + 1|}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \dfrac{1}{2}$。

所以直线 $AE$ 与平面 $PCD$ 所成角的正弦值为 $\dfrac{1}{2}$。

21.（12 分）

（1）由 $e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 得 $c^2 = \dfrac{3}{4}a^2$，$b^2 = a^2 - c^2 = \dfrac{1}{4}a^2$。

将点 $\left(1, \dfrac{1}{2}\right)$ 代入椭圆方程：$\dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1/4}{b^2} = 1$，即 $\dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{4b^2} = 1$。

由 $b^2 = \dfrac{1}{4}a^2$ 得 $\dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{a^2} = 1$，解得 $a^2 = 2$，$b^2 = \dfrac{1}{2}$。

所以椭圆 $C$ 的标准方程为 $\dfrac{x^2}{2} + 2y^2 = 1$。

（2）设 $M(x_1, y_1)$，$N(x_2, y_2)$，联立 $\begin{cases} y = kx + m \\ \dfrac{x^2}{2} + 2y^2 = 1 \end{cases}$，

消去 $y$ 得 $x^2 + 4(kx + m)^2 = 2$，即 $(1 + 4k^2)x^2 + 8kmx + 4m^2 - 2 = 0$。

$x_1 + x_2 = -\dfrac{8km}{1 + 4k^2}$，$x_1 x_2 = \dfrac{4m^2 - 2}{1 + 4k^2}$。

以 $MN$ 为直径的圆过原点 $O$，则 $OM \perp ON$，即 $x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0$。

$y_1 y_2 = (kx_1 + m)(kx_2 + m) = k^2 x_1 x_2 + km(x_1 + x_2) + m^2$。

所以 $(1 + k^2)x_1 x_2 + km(x_1 + x_2) + m^2 = 0$。

代入得 $(1 + k^2) \cdot \dfrac{4m^2 - 2}{1 + 4k^2} + km \cdot \left(-\dfrac{8km}{1 + 4k^2}\right) + m^2 = 0$。

两边乘 $(1 + 4k^2)$：$(1 + k^2)(4m^2 - 2) - 8k^2 m^2 + m^2(1 + 4k^2) = 0$。

展开整理：$4m^2 + 4k^2 m^2 - 2 - 2k^2 - 8k^2 m^2 + m^2 + 4k^2 m^2 = 0$，

即 $5m^2 - 2 - 2k^2 = 0$，得 $m^2 = \dfrac{2(1 + k^2)}{5}$。

故 $m^2$ 不是定值，而是与 $k$ 有关。若题目条件改为直线过定点或斜率满足特定关系，可进一步得定值。此处按上述条件，$m^2 = \dfrac{2(1 + k^2)}{5}$。

22.（10 分）

（1）$f(x)$ 的定义域为 $(0, +\infty)$，$f'(x) = \dfrac{1}{x} - a = \dfrac{1 - ax}{x}$。

当 $a \le 0$ 时，$f'(x) > 0$ 在 $(0, +\infty)$ 上恒成立，$f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上单调递增。

当 $a > 0$ 时，令 $f'(x) = 0$ 得 $x = \dfrac{1}{a}$。

当 $0 < x < \dfrac{1}{a}$ 时 $f'(x) > 0$，$f(x)$ 单调递增；当 $x > \dfrac{1}{a}$ 时 $f'(x) < 0$，$f(x)$ 单调递减。

（2）若 $f(x) \le 0$ 对任意 $x > 0$ 恒成立，即 $f(x)_{\max} \le 0$。

当 $a \le 0$ 时，$f(x)$ 单调递增，$f(x) \to +\infty$（$x \to +\infty$），不合题意。

当 $a > 0$ 时，$f(x)$ 在 $x = \dfrac{1}{a}$ 处取最大值 $f\left(\dfrac{1}{a}\right) = \ln\dfrac{1}{a} - 1 + 1 = -\ln a$。

令 $-\ln a \le 0$，得 $\ln a \ge 0$，即 $a \ge 1$。

所以实数 $a$ 的取值范围是 $[1, +\infty)$。