北师大版高中数学选择性必修第一册第二章《圆锥曲线》单元测试卷

完成时间：_______ 分钟 得分：_______

（考试时长：60分钟 难度配比：基础题60%、提升/难题40%）

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）

1. 已知椭圆 $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{9}=1$ ，则该椭圆的焦距为（         ）

A. $\sqrt{7}$　　B. $2\sqrt{7}$　　C. 7　　D. 14

2. 抛物线 $y^2=-8x$ 的焦点坐标为（         ）

A. $(-2,0)$　　B. $(2,0)$　　C. $(0,-2)$　　D. $(0,2)$

3. 双曲线 $\dfrac{y^2}{4}-\dfrac{x^2}{12}=1$ 的渐近线方程为（         ）

A. $y=\pm\sqrt{3}x$　　B. $y=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{3}x$　　C. $y=\pm3x$　　D. $y=\pm\dfrac{1}{3}x$

4. 若椭圆 $\dfrac{x^2}{m}+\dfrac{y^2}{4}=1$ 的离心率为 $\dfrac{1}{2}$ ，则正数 $m$ 的值为（         ）

A. 3　　B. $\dfrac{16}{3}$　　C. 3或 $\dfrac{16}{3}$　　D. 6

5. 已知动点 $P$ 到定点 $F(0,2)$ 的距离等于它到定直线 $y=-2$ 的距离，则点 $P$ 的轨迹方程为（         ）

A. $x^2=8y$　　B. $x^2=4y$　　C. $y^2=8x$　　D. $y^2=4x$

6. 双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\ (a>0,b>0)$ 的离心率 $e\in(\sqrt{2},2)$，则其渐近线斜率的取值范围是（         ）

A. $(-1,1)$　　B. $(-\sqrt{3},\sqrt{3})$　　C. $(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$　　D. $(-\infty,-\sqrt{3})\cup(\sqrt{3},+\infty)$

7. 已知椭圆 $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1$ 的左右焦点为 $F_1,F_2$，点 $P$ 在椭圆上，且 $|PF_1|=6$，则 $|PF_2|=($　　         ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

8. 已知直线 $y=kx+1$ 与椭圆 $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{2}=1$ 恒有公共点，则实数 $k$ 的取值范围是（         ）

A. $\mathbf{R}$　　B. $\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$　　C. $\left(-\infty,-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right]\cup\left[\dfrac{\sqrt{2}}{2},+\infty\right)$　　D. $[-1,1]$

二、多项选择题（本大题共3小题，每小题4分，共12分，多选、少选、错选均不得分）

9. 关于椭圆 $\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{5}=1$，下列说法正确的是（         ）

A. 长轴长为6　　B. 短轴长为 $2\sqrt{5}$　　C. 离心率为 $\dfrac{2}{3}$　　D. 焦点在 $y$ 轴上

10. 下列曲线中，离心率为定值的有（         ）

A. $x^2-y^2=1$ B. $y^2=4x$ C. $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{12}=1$ D. $\dfrac{x^2}{5}-\dfrac{y^2}{3}=0$

11. 已知抛物线 $y^2=4x$，过焦点 $F$ 的直线交抛物线于 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$ 两点，则下列结论正确的是（         ）

A. $x_1x_2=1$　　B. $y_1y_2=-4$　　C. $|AB|$ 最小值为4　　D. $\dfrac{1}{|AF|}+\dfrac{1}{|BF|}=1$

三、填空题（本大题共3小题，每小题4分，共12分）

12. 焦点在 $x$ 轴上，实轴长为4，离心率为 $\sqrt{2}$ 的双曲线标准方程为 ________。

13. 已知椭圆的一个焦点为 $(0,3)$，长轴长为10，则椭圆的标准方程为 ________。

14. 若抛物线 $y^2=2px\ (p>0)$ 上一点 $M(2,m)$ 到焦点的距离为3，则 $p=$ ________。

四、解答题（本大题共3小题，共44分，写出必要解题步骤）

15.（本小题满分14分）

已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\ (a>b>0)$ 的离心率 $e=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，且过点 $(2,1)$ 。

（1）求椭圆 $C$ 的标准方程；

（2）求椭圆的长轴长、短轴长和焦距。

16.（基础提升·14分）

已知双曲线 $C:\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{12}=1$ 。

（1）求双曲线的焦点坐标、渐近线方程、离心率；

（2）若直线 $l:y=kx+2$ 与双曲线交于两点，求 $k$ 的取值范围。

17.（压轴难题·16分）

已知抛物线 $C:y^2=4x$，焦点为 $F$，过点 $F$ 作斜率为1的直线 $l$ 交抛物线于 $A,B$ 两点。

（1）求直线 $l$ 的方程及弦 $AB$ 的长度；

（2）若点 $P$ 为抛物线上一动点，求点 $P$ 到直线 $l$ 的最短距离。