高一数学期末试卷

（必修第五章·三角函数 第六章·平面向量及其应用 第七章·复数 第八章·立体几何初步）

完成时间：_______ 分钟 得分：_______

一、单项选择题（共8题，每小题5分，共40分）

1. 若 $\sin \alpha = \frac{3}{5}$，且 $\alpha$ 为第二象限角，则 $\cos \alpha$ 的值为（         ）

A. $\frac{4}{5}$　　B. $-\frac{4}{5}$　　C. $\pm \frac{4}{5}$　　D. $-\frac{3}{5}$

2. 已知向量 $\vec{a} = (1,2)$，$\vec{b} = (x,4)$，若 $\vec{a} \parallel \vec{b}$，则实数 $x$ 的值为（         ）

A. -2 B. 2 C. 8 D. -8

3. 若复数 $z = (2+i)(1-i)$（$i$ 为虚数单位），则 $z$ 的模 $|z|$ 为（         ）

A. $\sqrt{10}$　　B. $10$　　C. $\sqrt{2}$　　D. $2$

4. 下列说法正确的是（ ）

A. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱

B. 用一个平面去截圆锥，截面一定是圆

C. 棱台的各侧棱延长后必交于一点

D. 以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体是圆锥

5. 函数 $f(x) = 2\sin(2x + \frac{\pi}{6})$ 的最小正周期为（         ）

A. $4\pi$　　B. $2\pi$　　C. $\pi$　　D. $\frac{\pi}{2}$

6. 已知 $|\vec{a}| = 3$，$|\vec{b}| = 4$，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = -6$，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（         ）

A. $30^\circ$　　B. $60^\circ$　　C. $120^\circ$　　D. $150^\circ$

7. 已知函数 $f(x) = \sin \omega x$（$\omega > 0$）在区间 $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}]$ 上单调递增，且在区间 $[0, 2\pi]$ 上恰好有 3 个零点，则 $\omega$ 的取值范围是（         ）

A. $[\frac{7}{4}, \frac{5}{2})$　　B. $[\frac{7}{4}, \frac{5}{2}]$　　C. $(2, \frac{5}{2}]$　　D. $[2, \frac{5}{2}]$

8. 在 $\triangle ABC$ 中，点 $M$ 满足 $\overrightarrow{BM} = 2\overrightarrow{MC}$，点 $N$ 为 $AC$ 的中点，$BN$ 与 $AM$ 交于点 $P$，若 $\overrightarrow{AP} = \lambda \overrightarrow{AM}$，则 $\lambda$ 的值为（         ）

A. $\frac{2}{3}$　　B. $\frac{3}{4}$　　C. $\frac{4}{5}$　　D. $\frac{5}{6}$

二、多项选择题（共3题，每小题6分，共18分）

9. 已知复数 $z = \frac{1+i}{1-i}$，则下列说法正确的是（         ）

A. $|z| = 1$　　B. $z^2 = -1$　　C. $z$ 的共轭复数为 $-i$　　D. $z$ 在复平面内对应的点位于虚轴上

10. 已知向量 $\vec{a}$，$\vec{b}$ 的夹角为 $60^\circ$，$|\vec{a}| = 1$，$|\vec{b}| = 2$，则下列结论正确的是（         ）

A. $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$　　B. $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{7}$

C. $\vec{a} \perp (\vec{a} - \vec{b})$　　D. $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为 $\frac{1}{4}\vec{b}$

11. 如图，在正方体 $ABCD - A_1B_1C_1D_1$ 中，$E$，$F$ 分别为 $AB$，$AD$ 的中点，$P$ 为线段 $B_1C$ 上的动点，则下列说法正确的是（         ）

A. 存在点 $P$，使得 $EP \parallel$ 平面 $A_1C_1D$

B. 三棱锥 $P - CEF$ 的体积为定值

C. 直线 $BP$ 与直线 $D_1C$ 所成角的取值范围是 $[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}]$

D. 直线 $EP$ 与平面 $BCC_1B_1$ 所成角的正弦值的取值范围是 $[\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{2}}{2}]$

三、填空题（共3题，每小题5分，共15分）

12.  已知 Sina=0.5，且 a为顿角，则a= ______ 度。

13. 在 $\triangle ABC$ 中，$\overrightarrow{AB} = \vec{a}$，$\overrightarrow{AC} = \vec{b}$，若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$，$|\vec{a}| = 3$，$|\vec{b}| = 4$，$D$ 为 $BC$ 边上一点且 $\overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{DC}$，则 $\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BC} =$ ______。

14. 已知正三棱锥 $P - ABC$ 的底面边长为 $2\sqrt{3}$，侧棱长为 $4$，$M$ 为棱 $PA$ 的中点，$N$ 为底面 $\triangle ABC$ 内一点（含边界），则 $MN$ 长度的取值范围是 ______。

四、解答题（共5题，共77分）

15.（本题满分13分）已知函数 $f（x）=2sinxcosx+1$ （1）求它 的最小正周期； （2）求它 的最大值及取得最大值时 的取值集合。

答：（1）______

答：（2）______

16.（本题满分15分）已知向量 $\vec{a} = (\sqrt{3}\sin x, 1)$，$\vec{b} = (\cos x, -\frac{1}{2})$，函数 $f(x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$。

（1）求函数 $f(x)$ 的单调递增区间；（7分）

（2）当 $x \in [0, \pi]$ 时，求函数 $f(x)$ 的值域。（8分）

答：（1）______

答：（2）______

17.（本题满分15分）如图，在直三棱柱 $ABC - A_1B_1C_1$ 中，$AB \perp AC$，$AB = AC = 2$，$AA_1 = 3$，$D$ 为 $BC$ 的中点。

（1）求证：$A_1D \perp$ 平面 $BCC_1B_1$；（7分）

（2）求直线 $A_1B$ 与平面 $BCC_1B_1$ 所成角的正弦值。（8分）

答：（1）______

答：（2）______

18.（本题满分17分）已知函数 $f(x) = A\sin(\omega x + \varphi)$（$A > 0$，$\omega > 0$，$|\varphi| < \frac{\pi}{2}$）的部分图象如图所示（其中最高点坐标为 $(\frac{\pi}{12}, 2)$，相邻对称轴间的距离为 $\frac{\pi}{2}$，图象经过点 $(0, 1)$）。

（1）求函数 $f(x)$ 的解析式；（5分）

（2）将函数 $f(x)$ 的图象向左平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），得到函数 $g(x)$ 的图象，求函数 $g(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上的值域；（6分）

（3）若关于 $x$ 的方程 $f(x) = k$ 在 $[-\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}]$ 上有且仅有两个不相等的实根，求实数 $k$ 的取值范围。（6分）

答：（1）______

答：（2）______

答：（3）______

19.（本题满分17分）如图，在四棱锥 $P - ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 为直角梯形，$AB \parallel CD$，$\angle ABC = 90^\circ$，$AB = 2BC = 2CD = 4$，$\triangle PAD$ 为等边三角形，且平面 $PAD \perp$ 平面 $ABCD$。

（1）求证：$BD \perp$ 平面 $PAD$；（5分）

（2）求二面角 $P - AB - C$ 的余弦值；（6分）

（3）在线段 $PB$ 上是否存在点 $M$，使得直线 $CM$ 与平面 $PAB$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{10}$？若存在，求出 $\frac{PM}{PB}$ 的值；若不存在，说明理由。（6分）

答：（1）______

答：（2）______

答：（3）______