立体几何综合练习

完成时间：_______ 分钟 得分：_______

一、选择题（共8题）

1. 下列命题中，真命题是（______）

A. 两条直线确定一个平面

B. 三点确定一个平面

C. 一条直线和直线外一点确定一个平面

D. 两条相交直线确定一个平面

2. 若直线 $a$ 平行于平面 $\alpha$，则下列结论正确的是（______）

A. $a$ 平行于 $\alpha$ 内的所有直线

B. $\alpha$ 内有无数条直线与 $a$ 平行

C. $a$ 与 $\alpha$ 内的所有直线都不相交

D. $\alpha$ 内只有一条直线与 $a$ 平行

3. 在正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，异面直线 $A_1B$ 与 $AD_1$ 所成的角为（______）

A. $30^\circ$

B. $45^\circ$

C. $60^\circ$

D. $90^\circ$

4. 已知直线 $l \perp \alpha$，直线 $m \subset \beta$，则“$\alpha \parallel \beta$”是“$l \perp m$”的（______）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

5. 若一个圆锥的侧面展开图是半圆，则该圆锥的母线与底面半径之比为（______）

A. $1:1$

B. $2:1$

C. $\sqrt{3}:1$

D. $\sqrt{2}:1$

6. 已知正四棱柱的底面边长为 $2$，侧棱长为 $3$，则该棱柱的体积为（______）

A. $6$

B. $8$

C. $12$

D. $24$

7. 在三棱锥 $P-ABC$ 中，$PA \perp$ 底面 $ABC$，$\angle ABC = 90^\circ$，且 $PA = AB = BC = 1$，则点 $A$ 到平面 $PBC$ 的距离为（______）

A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

C. $\frac{\sqrt{6}}{3}$

D. $\frac{\sqrt{6}}{6}$

8. 已知球 $O$ 的半径为 $R$，其内接正方体的体积为 $64\sqrt{3}$，则球 $O$ 的表面积为（______）

A. $48\pi$

B. $64\pi$

C. $96\pi$

D. $144\pi$

二、解答题（共4题）

9.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 是正方形，侧棱 $PD \perp$ 底面 $ABCD$，且 $PD = DC = 2$。

(1) 求证：$AC \perp PB$；

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