题趣果壳题库AI 出卷
数学初中专题训练

数学思维开拓训练（一）

数学思维开拓训练（一） 完成时间：120分钟 满分：150分 得分：__________ A卷（共100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，属于整数集 Z \mathbb{Z} Z 的是（ ） A. 1 2 \frac{1}{2} 2 1 B. 2 \sqrt{2} 2 C. − 3 -3 − 3 D. π \pi

试卷正文

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数学思维开拓训练（一）


完成时间：120分钟 满分：150分 得分：__________



A卷（共100分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1. 下列各数中，属于整数集 Z\mathbb{Z} 的是（         ）

A. 12\frac{1}{2}   B. 2\sqrt{2}   C. −3-3   D. π\pi

2. 一元二次方程 x2−5x+6=0x^2 - 5x + 6 = 0 的两根之和为（         ）

A. −5-5   B. 55   C. −6-6   D. 66

3. 二次函数 y=x2−4x+7y = x^2 - 4x + 7 的顶点坐标是（         ）

A. (2,3)(2,3)   B. (−2,3)(-2,3)   C. (2,11)(2,11)   D. (−2,19)(-2,19)

4. 在 Rt△ABC\triangle ABC 中，∠C=90∘\angle C = 90^\circ，AB=10AB = 10，BC=6BC = 6，则 sin⁡A\sin A 的值为（         ）

A. 35\frac{3}{5}   B. 45\frac{4}{5}   C. 34\frac{3}{4}   D. 43\frac{4}{3}

5. 在 ⊙O\odot O 中，弦 ABAB 所对的圆心角 ∠AOB=80∘\angle AOB = 80^\circ，点 CC 在 ⊙O\odot O 上，且点 CC 在弦 ABAB 所对的优弧上，则 ∠ACB\angle ACB 的度数为（         ）

A. 40∘40^\circ   B. 80∘80^\circ   C. 160∘160^\circ   D. 120∘120^\circ

6. 在 ⊙O\odot O 中，直径 CDCD 垂直弦 ABAB 于点 EE，若 AB=8AB = 8，OE=3OE = 3，则 ⊙O\odot O 的半径为（         ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

7. 已知集合 A={x∣−2≤x≤3}A = \{x \mid -2 \le x \le 3\}，B={x∣x>1}B = \{x \mid x > 1\}，则 A∩BA \cap B 等于（         ）

A. {x∣1<x≤3}\{x \mid 1 < x \le 3\}   B. {x∣−2≤x<1}\{x \mid -2 \le x < 1\}   C. {x∣x>−2}\{x \mid x > -2\}   D. {x∣x≤3}\{x \mid x \le 3\}

8. 已知复数 z=3−4iz = 3 - 4\mathrm{i}，其中 i\mathrm{i} 为虚数单位，则 ∣z∣|z| 等于（         ）

A. 1 B. 5 C. 7 D. 25

9. 若关于 xx 的一元二次方程 x2−2x+m=0x^2 - 2x + m = 0 有两个不相等的实数根，则 mm 的取值范围是（         ）

A. m>1m > 1   B. m<1m < 1   C. m≥1m \ge 1   D. m≤1m \le 1

10. 在 △ABC\triangle ABC 中，AB=AC=5AB = AC = 5，BC=6BC = 6，则 △ABC\triangle ABC 的面积为（         ）

A. 12 B. 15 C. 18 D. 24

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）


11. 二次函数 y=−2x2+8x−5y = -2x^2 + 8x - 5 的对称轴是直线 ________.

12. 在 Rt△ABC\triangle ABC 中，∠C=90∘\angle C = 90^\circ，AC=3AC = 3，BC=4BC = 4，则 tan⁡A=\tan A = ________.

13. 若关于 xx 的一元二次方程 x2+mx+6=0x^2 + mx + 6 = 0 的一个根为 22，则 m=m = ________.

14. 在 ⊙O\odot O 中，半径为 55，弦 ABAB 长为 66，则弦 ABAB 的弦心距为 ________.

15. 已知 sin⁡α=35\sin\alpha = \frac{3}{5}，α\alpha 为锐角，则 cos⁡α=\cos\alpha = ________.


三、解答题（本大题共5小题，共55分）

16.（本小题满分10分）

（1）计算：(−1)2026+8−2sin⁡45∘+(12)−2(-1)^{2026} + \sqrt{8} - 2\sin 45^\circ + \left(\frac{1}{2}\right)^{-2}；

17.（本小题满分10分）

（2）解一元二次方程：2x2−3x−2=02x^2 - 3x - 2 = 0。




已知二次函数 y=x2−2x−3y = x^2 - 2x - 3。

（1）求该二次函数图象的顶点坐标；

（2）当 xx 为何值时，yy 随 xx 的增大而增大；

（3）求该抛物线与 xx 轴的交点坐标。




18.（本小题满分10分）

在 Rt△ABC\triangle ABC 中，∠C=90∘\angle C = 90^\circ，点 DD 在 BCBC 上，BD=2BD = 2，CD=3CD = 3，∠B=30∘\angle B = 30^\circ。

（1）求 ACAC 的长；

（2）求 ADAD 的长。




19.（本小题满分12分）

在 ⊙O\odot O 中，ABAB 为直径，ACAC 为弦，OD⊥ACOD \perp AC 于点 DD，⊙O\odot O 的半径为 55，AC=8AC = 8。

（1）求 ODOD 的长；

（2）求 sin⁡∠BAC\sin\angle BAC 的值。




20.（本小题满分13分）

在 Rt△ABC\triangle ABC 中，∠ACB=90∘\angle ACB = 90^\circ，AC=6AC = 6，BC=8BC = 8。将 △ABC\triangle ABC 绕点 CC 按顺时针方向旋转 90∘90^\circ 得到 △DEC\triangle DEC，其中点 AA 的对应点为 DD，点 BB 的对应点为 EE。

（1）求线段 BDBD 的长；

（2）连接 ADAD，求四边形 ABDEABDE 的面积。




B卷（共50分）

一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）


21. 已知全集 U={1,2,3,4,5}U = \{1,2,3,4,5\}，集合 A={1,2,3}A = \{1,2,3\}，则 ∁UA=\complement_U A = ________.

22. 已知复数 z=1+i1−iz = \frac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}（其中 i\mathrm{i} 为虚数单位），则 zz 的虚部为 ________.

23. 若二次函数 y=x2+bx+cy = x^2 + bx + c 的图象经过点 (1,0)(1,0) 和 (3,0)(3,0)，则 b+c=b + c = ________.


24. 在 △ABC\triangle ABC 中，AB=AC=5AB = AC = 5，BC=8BC = 8，以点 AA 为圆心、44 为半径作圆，则 BCBC 边所在直线与 ⊙A\odot A 的位置关系是 ________.

25. 已知 aa、bb 均为实数，且 a+3i=2+bia + 3\mathrm{i} = 2 + b\mathrm{i}（其中 i\mathrm{i} 为虚数单位），则 a+b=a + b = ________.


二、解答题（本大题共3小题，共30分）


26.（本小题满分10分）

已知关于 xx 的一元二次方程 x2−(2k+1)x+k2+k=0x^2 - (2k+1)x + k^2 + k = 0。

（1）求证：无论 kk 为何实数，方程总有两个实数根；

（2）若方程的两根为 x1x_1，x2x_2，且 x12+x22=25x_1^2 + x_2^2 = 25，求 kk 的值。




27.（本小题满分10分）

在 Rt△ABC\triangle ABC 中，∠C=90∘\angle C = 90^\circ，以 ACAC 为直径作 ⊙O\odot O，交 ABAB 于点 DD。已知 AC=6AC = 6，BC=8BC = 8。

（1）求 ABAB 的长；

（2）连接 CDCD，求证：CD⊥ABCD \perp AB；

（3）求 ADAD 的长。




28.（本小题满分10分）

在平面直角坐标系 xOyxOy 中，点 AA 的坐标为 (6,0)(6,0)，点 BB 的坐标为 (0,8)(0,8)。点 PP 从点 AA 出发，沿 xx 轴向原点 OO 运动，速度为每秒 11 个单位长度；点 QQ 从点 OO 出发，沿 yy 轴向点 BB 运动，速度为每秒 22 个单位长度。两点同时出发，运动时间为 tt 秒（0≤t≤40 \le t \le 4）。

（1）用含 tt 的代数式表示 OPOP、OQOQ 的长；

（2）当 tt 为何值时，△POQ\triangle POQ 与 △AOB\triangle AOB 相似？

（3）在运动过程中，四边形 ABQPABQP 的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值及此时 tt 的值；若不存在，请说明理由。




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数学 · 答题卡



姓名：____________________

准考证号：____________________

缺考标记：□ 缺考

注意事项：

1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚。

2. 选择题必须用 2B 铅笔填涂，非选择题用 0.5 毫米黑色签字笔作答。

3. 请在题号对应的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效。

4. 保持答题卡整洁，不要折叠、弄破、污损。

5. 正确填涂示例：■

选择题作答区（1-10 每小题 3 分，共 30 分）


1. [A] [B] [C] [D]

2. [A] [B] [C] [D]

3. [A] [B] [C] [D]

4. [A] [B] [C] [D]

5. [A] [B] [C] [D]

6. [A] [B] [C] [D]

7. [A] [B] [C] [D]

8. [A] [B] [C] [D]

9. [A] [B] [C] [D]

10. [A] [B] [C] [D]

非选择题作答区

二、填空题（11-15 每小题 3 分，共 15 分）


11. ____________________

12. ____________________

13. ____________________

14. ____________________

15. ____________________


三、解答题（16-20 共 55 分）

16. 解：








17. 解：








18. 解：








19. 解：








20. 解：








B卷 一、填空题（21-25 每小题 4 分，共 20 分）


21. ____________________

22. ____________________

23. ____________________

24. ____________________

25. ____________________


B卷 二、解答题（26-28 共 30 分）

26. 解：








27. 解：








28. 解：







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参考答案

A卷

一、选择题


1. C

2. B

3. A

4. B

5. A

6. B

7. A

8. B

9. B

10. A

1. C。−3-3 是整数，属于整数集 Z\mathbb{Z}。

2. B。两根之和 x1+x2=−−51=5x_1 + x_2 = -\frac{-5}{1} = 5。

3. A。y=(x−2)2+3y = (x-2)^2 + 3，顶点坐标为 (2,3)(2,3)。

4. B。由勾股定理得 AC=102−62=8AC = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8，sin⁡A=BCAB=610=45\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{6}{10} = \frac{4}{5}。

5. A。圆周角等于同弧所对圆心角的一半，∠ACB=40∘\angle ACB = 40^\circ。

6. B。设半径为 rr，则 r2=OE2+(AB2)2=32+42=25r^2 = OE^2 + \left(\frac{AB}{2}\right)^2 = 3^2 + 4^2 = 25，r=5r = 5。

7. A。交集为 {x∣−2≤x≤3}∩{x∣x>1}={x∣1<x≤3}\{x \mid -2 \le x \le 3\} \cap \{x \mid x > 1\} = \{x \mid 1 < x \le 3\}。

8. B。∣z∣=32+(−4)2=5|z| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = 5。

9. B。Δ=(−2)2−4m=4−4m>0\Delta = (-2)^2 - 4m = 4 - 4m > 0，解得 m<1m < 1。

10. A。作高 ADAD，则 BD=3BD = 3，AD=52−32=4AD = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4，面积 S=12×6×4=12S = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12。

二、填空题

11. x=2x = 2

12. 43\frac{4}{3}

13. −5-5

14. 44

15. 45\frac{4}{5}

三、解答题

16. 解：

（1）原式 =1+22−2×22+4=1+22−2+4=5+2= 1 + 2\sqrt{2} - 2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} + 4 = 1 + 2\sqrt{2} - \sqrt{2} + 4 = 5 + \sqrt{2}。

（2）2x2−3x−2=02x^2 - 3x - 2 = 0，因式分解得 (2x+1)(x−2)=0(2x + 1)(x - 2) = 0，所以 x1=2x_1 = 2，x2=−12x_2 = -\frac{1}{2}。

17. 解：

（1）y=x2−2x−3=(x−1)2−4y = x^2 - 2x - 3 = (x-1)^2 - 4，顶点坐标为 (1,−4)(1, -4)。

（2）抛物线开口向上，对称轴为直线 x=1x = 1，当 x>1x > 1 时，yy 随 xx 的增大而增大。

（3）令 y=0y = 0，得 x2−2x−3=0x^2 - 2x - 3 = 0，解得 x1=3x_1 = 3，x2=−1x_2 = -1。抛物线与 xx 轴的交点坐标为 (3,0)(3,0)，(−1,0)(-1,0)。

18. 解：

（1）因为 BC=BD+CD=2+3=5BC = BD + CD = 2 + 3 = 5，在 Rt△ABC\triangle ABC 中，tan⁡B=ACBC\tan B = \frac{AC}{BC}，所以 AC=BC⋅tan⁡30∘=5×33=533AC = BC \cdot \tan 30^\circ = 5 \times \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{5\sqrt{3}}{3}。

（2）在 Rt△ADC\triangle ADC 中，AC=533AC = \frac{5\sqrt{3}}{3}，CD=3CD = 3，由勾股定理得 AD=AC2+CD2=759+9=1569=2393AD = \sqrt{AC^2 + CD^2} = \sqrt{\frac{75}{9} + 9} = \sqrt{\frac{156}{9}} = \frac{2\sqrt{39}}{3}。

19. 解：

（1）因为 OD⊥ACOD \perp AC，所以 AD=CD=12AC=4AD = CD = \frac{1}{2}AC = 4。连接 OAOA，在 Rt△OAD\triangle OAD 中，OA=5OA = 5，AD=4AD = 4，由勾股定理得 OD=52−42=3OD = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3。

（2）在 Rt△OAD\triangle OAD 中，sin⁡∠BAC=sin⁡∠OAD=ODOA=35\sin\angle BAC = \sin\angle OAD = \frac{OD}{OA} = \frac{3}{5}。

20. 解：

以点 CC 为原点建立平面直角坐标系，设 C(0,0)C(0,0)，A(6,0)A(6,0)，B(0,8)B(0,8)。绕点 CC 顺时针旋转 90∘90^\circ 后，点 A(6,0)A(6,0) 的对应点 D(0,−6)D(0,-6)，点 B(0,8)B(0,8) 的对应点 E(8,0)E(8,0)。

（1）BD=(0−0)2+(8+6)2=14BD = \sqrt{(0-0)^2 + (8+6)^2} = 14。

（2）四边形 ABDEABDE 的顶点依次为 A(6,0)A(6,0)，B(0,8)B(0,8)，D(0,−6)D(0,-6)，E(8,0)E(8,0)。由割补法或坐标面积公式可得其面积为 4848 平方单位。

B卷

一、填空题

21. {4,5}\{4,5\}

22. 11

23. −1-1

24. 相交

25. 55

21. 解析：∁UA={4,5}\complement_U A = \{4,5\}。

22. 解析：z=1+i1−i=(1+i)2(1−i)(1+i)=2i2=iz = \frac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}} = \frac{(1+\mathrm{i})^2}{(1-\mathrm{i})(1+\mathrm{i})} = \frac{2\mathrm{i}}{2} = \mathrm{i}，虚部为 11。

23. 解析：由交点得 y=(x−1)(x−3)=x2−4x+3y = (x-1)(x-3) = x^2 - 4x + 3，所以 b=−4b = -4，c=3c = 3，b+c=−1b + c = -1。

24. 解析：作 AD⊥BCAD \perp BC 于 DD，则 BD=4BD = 4，AD=52−42=3AD = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3。圆心 AA 到直线 BCBC 的距离 AD=3<4AD = 3 < 4，所以相交。

25. 解析：由复数相等得 a=2a = 2，3=b3 = b，所以 a+b=5a + b = 5。

二、解答题

26. 解：

（1）Δ=[−(2k+1)]2−4(k2+k)=(2k+1)2−4k2−4k=1>0\Delta = [-(2k+1)]^2 - 4(k^2+k) = (2k+1)^2 - 4k^2 - 4k = 1 > 0，所以无论 kk 为何实数，方程总有两个不相等的实数根，即总有两个实数根。

（2）由根与系数的关系得 x1+x2=2k+1x_1 + x_2 = 2k + 1，x1x2=k2+kx_1 x_2 = k^2 + k。

因为 x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=(2k+1)2−2(k2+k)=2k2+2k+1x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = (2k+1)^2 - 2(k^2+k) = 2k^2 + 2k + 1，

所以 2k2+2k+1=252k^2 + 2k + 1 = 25，整理得 k2+k−12=0k^2 + k - 12 = 0，解得 k=3k = 3 或 k=−4k = -4。

27. 解：

（1）在 Rt△ABC\triangle ABC 中，由勾股定理得 AB=AC2+BC2=62+82=10AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10。

（2）因为 ACAC 为 ⊙O\odot O 的直径，点 DD 在 ⊙O\odot O 上，所以 ∠ADC=90∘\angle ADC = 90^\circ，即 CD⊥ABCD \perp AB。

（3）由三角形面积得 12×AC×BC=12×AB×CD\frac{1}{2} \times AC \times BC = \frac{1}{2} \times AB \times CD，所以 CD=AC⋅BCAB=6×810=245CD = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{6 \times 8}{10} = \frac{24}{5}。

在 Rt△ADC\triangle ADC 中，AD=AC2−CD2=62−(245)2=36−57625=32425=185AD = \sqrt{AC^2 - CD^2} = \sqrt{6^2 - \left(\frac{24}{5}\right)^2} = \sqrt{36 - \frac{576}{25}} = \sqrt{\frac{324}{25}} = \frac{18}{5}。

28. 解：

（1）由题意得 AP=tAP = t，所以 OP=OA−AP=6−tOP = OA - AP = 6 - t；OQ=2tOQ = 2t。

（2）在 △POQ\triangle POQ 与 △AOB\triangle AOB 中，∠POQ=∠AOB=90∘\angle POQ = \angle AOB = 90^\circ。分两种情况：

① 当 OPOA=OQOB\frac{OP}{OA} = \frac{OQ}{OB} 时，6−t6=2t8\frac{6-t}{6} = \frac{2t}{8}，解得 t=125t = \frac{12}{5}；

所以当 t=125t = \frac{12}{5} 或 t=1811t = \frac{18}{11} 时，△POQ\triangle POQ 与 △AOB\triangle AOB 相似。

② 当 OPOB=OQOA\frac{OP}{OB} = \frac{OQ}{OA} 时，6−t8=2t6\frac{6-t}{8} = \frac{2t}{6}，解得 t=1811t = \frac{18}{11}。

（3）四边形 ABQPABQP 的面积 S=S△AOB−S△POQ=12×6×8−12×OP×OQ=24−12(6−t)(2t)S = S_{\triangle AOB} - S_{\triangle POQ} = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 - \frac{1}{2} \times OP \times OQ = 24 - \frac{1}{2}(6-t)(2t)。

整理得 S=24−(6t−t2)=t2−6t+24=(t−3)2+15S = 24 - (6t - t^2) = t^2 - 6t + 24 = (t-3)^2 + 15。

因为 0≤t≤40 \le t \le 4，所以当 t=3t = 3 时，四边形 ABQPABQP 的面积取得最小值，最小值为 1515 平方单位。