一元二次方程图像与反比例函数测试卷

姓名：__________ 完成时间：_______ 分钟 得分：_______

（满分 100 分，考试时间 90 分钟）

一、选择题（每题 3 分，共 24 分）

1. 二次函数 $y = x^2 - 4x + 3$ 的对称轴是（         ）

A. 直线 $x = 1$  B. 直线 $x = 2$  C. 直线 $x = -2$  D. 直线 $x = 3$

2. 抛物线 $y = -2x^2 + 1$ 的开口方向是（         ）

A. 向上 B. 向下 C. 向左 D. 向右

3. 顶点坐标为 $(2, -1)$，开口向上的抛物线解析式可能是（         ）

A. $y = (x-2)^2 + 1$  B. $y = (x-2)^2 - 1$  C. $y = (x+2)^2 - 1$  D. $y = -(x-2)^2 - 1$

4. 若反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图像经过点 $(2, -3)$，则 $k$ 的值为（         ）

A. 6  B. -6  C. $\frac{2}{3}$  D. $-\frac{2}{3}$

5. 反比例函数 $y = -\frac{5}{x}$ 的图像在（         ）

A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限 D. 第二、四象限

6. 二次函数 $y = 2x^2 - 4x + 1$ 的最小值是（         ）

A. 1 B. -1 C. 3 D. -3

7. 下列函数中，是反比例函数的是（ ）

A. $y = 2x - 1$  B. $y = \frac{1}{2x}$  C. $y = x^2$  D. $y = \frac{x}{2}$

8. 抛物线 $y = (x+1)^2 - 2$ 的顶点坐标是（         ）

A. $(1, -2)$  B. $(-1, 2)$  C. $(-1, -2)$  D. $(1, 2)$

二、填空题（每题 3 分，共 18 分）

9. 抛物线 $y = x^2 - 6x + 5$ 的对称轴为直线 $x =$ ______，顶点坐标为（______，______）。

10. 反比例函数 $y = \frac{3}{x}$ 的图像位于第______象限，在每个象限内，$y$ 随 $x$ 的增大而______。

11. 若抛物线 $y = ax^2 + bx + c$ 的开口向下，则 $a$ ______ 0（填“>”“<”或“=”）

12. 反比例函数 $y = (m-1)x^{m^2-2}$ 是反比例函数，则 $m$ 的值为______。

13. 二次函数 $y = -x^2 + 4x$ 的最大值是______。

14. 已知反比例函数 $y = \frac{6}{x}$，当 $x = 3$ 时，$y$ 的值为______；当 $y = 2$ 时，$x$ 的值为______。

三、解答题（共 58 分）

15.（10 分）求二次函数 $y = x^2 - 4x + 3$ 的顶点坐标、对称轴，并判断其开口方向。

16.（10 分）已知反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图像经过点 $P(3, -2)$。

（1）求 $k$ 的值，并写出函数解析式；

（2）判断点 $Q(2, -3)$ 是否在该函数图像上。

17.（12 分）已知二次函数 $y = x^2 - 2x - 8$。

（1）求抛物线与 $x$ 轴的交点坐标；

（2）求抛物线与 $y$ 轴的交点坐标；

（3）当 $x$ 取何值时，$y ＜ 0$？

18.（13 分）已知一次函数 $y = x + 2$ 与反比例函数 $y = \frac{3}{x}$ 的图像在第一象限内的交点为点 $A$。

（1）求点 $A$ 的坐标；

（2）求这两个函数图像的另一交点 $B$ 的坐标。

19.（13 分）用总长为 100 米的篱笆围成一个矩形场地，矩形场地的面积为 $S$（平方米），一边长为 $x$（米）。

（1）写出 $S$ 关于 $x$ 的函数解析式，并写出 $x$ 的取值范围；

（2）当 $x$ 取何值时，矩形场地的面积 $S$ 最大？最大面积是多少？

参考答案

一、选择题

二、填空题

9. $x = 3$，顶点坐标 $(3, -4)$

10. 第一、三象限，减小

11. $a ＜ 0$

12. $m = -1$（解析：$m^2 - 2 = -1$ 且 $m - 1 \neq 0$，解得 $m = \pm 1$，舍去 $m = 1$）

13. 4（解析：$y = -(x^2 - 4x) = -(x-2)^2 + 4$，最大值 4）

14. $y = 2$，$x = 3$

三、解答题

15. 解：$y = x^2 - 4x + 3 = (x-2)^2 - 1$

    因为 $a = 1 ＞ 0$，所以开口向上。

    对称轴为直线 $x = 2$，顶点坐标为 $(2, -1)$。

16. 解：（1）因为图像经过 $P(3, -2)$，代入 $y = \frac{k}{x}$ 得：$-2 = \frac{k}{3}$，$k = -6$，所以解析式为 $y = -\frac{6}{x}$。

    （2）把 $x = 2$ 代入 $y = -\frac{6}{x}$，得 $y = -3$，所以点 $Q(2, -3)$ 在该函数图像上。

17. 解：（1）令 $y = 0$，则 $x^2 - 2x - 8 = 0$，即 $(x-4)(x+2) = 0$，解得 $x_1 = 4$，$x_2 = -2$。所以抛物线与 $x$ 轴的交点坐标为 $(4, 0)$ 和 $(-2, 0)$。

    （2）当 $x = 0$ 时，$y = -8$，所以抛物线与 $y$ 轴的交点坐标为 $(0, -8)$。

    （3）因为 $a = 1 ＞ 0$，开口向上，当 $-2 ＜ x ＜ 4$ 时，$y ＜ 0$。

18. 解：（1）联立方程：

$\begin{cases} y = x + 2 \\ y = \frac{3}{x} \end{cases}$

    消去 $y$ 得：$x + 2 = \frac{3}{x}$，即 $x^2 + 2x - 3 = 0$，$(x+3)(x-1) = 0$，解得 $x_1 = 1$，$x_2 = -3$。

    第一象限交点横坐标为正，所以 $x = 1$，此时 $y = 3$，点 $A$ 坐标为 $(1, 3)$。

    （2）另一交点为 $x = -3$，此时 $y = -1$，点 $B$ 坐标为 $(-3, -1)$。

19. 解：（1）设一边长为 $x$ 米，则另一边长为 $\frac{100 - 2x}{2} = 50 - x$ 米，

$S = x(50 - x) = -x^2 + 50x$，$0 ＜ x ＜ 50$。

    （2）$S = -(x^2 - 50x) = -(x-25)^2 + 625$，

    因为 $a = -1 ＜ 0$，开口向下，所以当 $x = 25$ 时，$S$ 有最大值，最大面积为 $625$ 平方米。