初中数学阶段性测试卷

（满分：100分 考试时间：90分钟）

一、解不等式组（共4小题，每小题7分，共28分）

解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来（数轴作图略，请自行完成）。

1. $5x - 3 < 2x + 6$	2. $2(3x-1) \ge 3(4x+1)-5$
3. $\frac{x+2}{2} - \frac{2x-1}{3} > 1$	4. $\begin{cases} 2x+1 > x-2 \\ \frac{x-1}{3} \le \frac{x+2}{2} \end{cases}$

二、作图题（共1小题，每小题8分，共8分）

5. 如图，已知 $\triangle ABC$ 及直线 $l$，直线 $l$ 过点 $A$。请利用尺规作图完成以下要求（保留作图痕迹，不写作法）：

（1）在直线 $l$ 上求作一点 $P$，使得 $PB = PC$；

（2）在 $\triangle ABC$ 内部求作一点 $Q$，使得点 $Q$ 到 $\angle ABC$ 两边的距离相等，且到边 $AB$ 和边 $AC$ 的距离也相等。



三、不等式应用题（共1小题，每小题8分，共8分）

6. 某工厂计划生产A、B两种型号的产品共80件，已知生产一件A型产品需要甲种原料7千克，乙种原料4千克；生产一件B型产品需要甲种原料3千克，乙种原料6千克。工厂现有甲种原料460千克，乙种原料340千克。问：该工厂最多能生产多少件A型产品？

四、不等式参数问题（共1小题，每小题8分，共8分）

7. 已知关于 $x$ 的不等式 $3x - m \le 0$ 的正整数解恰好是1，2，3。求 $m$ 的取值范围。

五、几何角度计算（共1小题，每小题8分，共8分）

8. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，$\angle BAC = 100^{\circ}$，线段 $AB$ 的垂直平分线 $MN$ 交 $AB$ 于点 $D$，交 $AC$ 于点 $E$，连接 $BE$。

（1）求 $\angle ABE$ 的度数；

（2）连接 $CE$，若 $BC = BE$，求 $\angle BCE$ 的度数。



六、商业利润应用题（共1小题，每小题12分，共12分）

9. 某书店准备购进甲、乙两种图书进行销售。若购买40本甲种图书和30本乙种图书共需1700元，若购买50本甲种图书和20本乙种图书共需1900元。

（1）求甲、乙两种图书每本的进价各是多少元？

（2）该书店计划用不超过4000元的资金购进甲、乙两种图书共100本。据市场调查，甲种图书每本售价定为45元，乙种图书每本售价定为30元。如果这批图书全部售完，那么该书店如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少？（注：利润 = 售价 - 进价）

七、几何证明题（共1小题，每小题12分，共12分）

10. 如图，$\triangle ABC$ 中，$AD$ 是 $\angle BAC$ 的平分线，$E$、$F$ 分别在 $AB$、$AC$ 上，且 $DE \perp AB$，$DF \perp AC$，垂足分别为 $E$、$F$。点 $M$ 是线段 $AD$ 上任意一点（不与 $A$、$D$ 重合），连接 $BM$、$CM$。

求证：$BM = CM$。

 

 

八、几何综合探究题（共1小题，每小题16分，共16分）

11. 在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，$\angle BAC = 90^{\circ}$。点 $D$ 是直线 $BC$ 上一个动点（点 $D$ 不与 $B$、$C$ 重合），以 $AD$ 为边在 $AD$ 的右侧作正方形 $ADEF$，连接 $CF$。

（1）观察猜想：如图1，当点 $D$ 在线段 $BC$ 上时，线段 $CF$ 与 $BD$ 的数量关系是 ______，位置关系是 ______。

（2）探究证明：如图2，当点 $D$ 在线段 $CB$ 的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出新的结论并证明。

（3）拓展延伸：在（2）的条件下，若正方形 $ADEF$ 的边长为 $3\sqrt{2}$，且 $BD = 2$，请直接写出 $BC$ 的长。





（图1）

（图2）