高中数学专项练习：二次函数、幂函数、指数函数与对数函数

完成时间：_______ 分钟 得分：_______

一、二次函数在闭区间上的最值

1.（基础题）求函数 $f(x) = x^2 - 4x + 3$ 在区间 $[0, 3]$ 上的最大值和最小值。

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2.（复杂题）已知函数 $f(x) = x^2 - 2ax + 3$（$a \in \mathbb{R}$），求 $f(x)$ 在区间 $[0, 2]$ 上的最小值 $g(a)$，并写出 $g(a)$ 的表达式。

答：________________________________________

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二、幂函数

3.（基础题）已知幂函数 $f(x) = x^{\alpha}$ 的图象经过点 $(2, 8)$，求 $\alpha$ 的值，并判断 $f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上的单调性。

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4.（复杂题）比较下列各组数的大小，并说明理由：

（1）$1.5^{\frac{1}{2}}$ 与 $1.7^{\frac{1}{2}}$；

（2）$2^{-\frac{1}{3}}$ 与 $3^{-\frac{1}{3}}$；

（3）$0.8^{\frac{2}{3}}$ 与 $0.8^{\frac{3}{4}}$。

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三、指数函数比大小

5.（基础题）比较下列各组数的大小：

（1）$2^{0.3}$ 与 $2^{0.5}$；

（2）$0.5^{-1}$ 与 $0.5^{-2}$。

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6.（复杂题）设 $a = 2^{0.3}$，$b = 0.3^{2}$，$c = \log_{2} 0.3$，试比较 $a$、$b$、$c$ 的大小，并说明理由。

答：________________________________________

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四、对数函数的真数大于零

7.（基础题）求函数 $y = \log_{2}(x - 3)$ 的定义域。

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8.（复杂题）已知函数 $f(x) = \log_{a}(x^2 - 2x - 3)$（$a > 0$ 且 $a \neq 1$）。

（1）求 $f(x)$ 的定义域；

（2）若 $a = 2$，求 $f(x)$ 的单调递增区间。

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